Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB; AC là một dây cung của nó. Kẻ tiếp tuyến Ax và kẻ đường phân giác của góc CAx cắt đường tròn tại E và BC kéo dài tại D

Trong bài toán này, chúng ta có thể giải quyết từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh bốn điểm \( D, E, I, C \) thuộc một đường tròn.

Để chứng minh bốn điểm này thuộc một đường tròn, ta sử dụng tính chất của các góc.

1. **Xét \( \angle CAx \)** là một góc nội tiếp của nửa đường tròn, có điểm A ở cạnh bên ngoài (tại điểm \( x \)).
2. \( E \) là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến \( Ax \) với đường tròn, do đó \( \angle CAE = \angle CAx \) (góc này là góc nội tiếp).
3. Do \( \angle CED = 90^\circ \) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung), ta có \( \angle CED = \angle CAB \).

Vậy \( \angle CED + \angle CAE = 90^\circ + \angle CAx = 180^\circ \), cho thấy bốn điểm \( D, E, I, C \) tạo thành một tứ giác nội tiếp.

### b) Chứng minh rằng \( \triangle ABD \) cân và \( OE \parallel BD \).

1. **Đối với tam giác \( ABD \)**:
- Ta có \( \angle DAB = \angle ABD = \angle CAE \) (góc vuông tại E).
- Do đó, \( \triangle ABD \) là tam giác cân tại A.

2. **Về \( OE \parallel BD \)**:
- Do \( OE \) vuông góc với \( AB \) (bởi vì \( E \) là điểm tiếp xúc) và độ dài của \( BD \) cũng là đường thẳng biên.
- Từ đó, ta suy ra rằng \( OE \parallel BD \).

### c) Chứng minh \( DI \perp AB \).

1. Từ định nghĩa điểm \( I \) là giao điểm của \( AC \) và \( BE \), ta có thể chỉ ra rằng:
- \( AB \) là dây cung.
- \( DI \) là đường trung trực của \( AB \) (bởi vì \( D \) nằm trên đường tiếp tuyến, góc vuông với AB).

Chúng ta có thể thấy rằng \( DI \) vuông góc với \( AB \).

### Kết luận:
Bằng cách sử dụng các tính chất của góc và tứ giác, chúng ta có thể kết luận rằng bốn điểm \( D, E, I, C \) thuộc một đường tròn, tam giác \( ABD \) cân, và đường \( DI \) vuông góc với \( AB \).