Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = 4x^2 + 2y^2 - 4xy -4x - 8y + 2050 \), ta có thể sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm bậc hai.

1. Biểu thức này có dạng bậc hai theo \( x \) và \( y \), và có thể được xem như một hàm nhiều biến. Để tìm cực trị, ta sẽ tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \), sau đó giải hệ phương trình tìm điểm cực trị.

2. Tính đạo hàm riêng theo \( x \):
\[
\frac{\partial P}{\partial x} = 8x - 4y - 4
\]

3. Tính đạo hàm riêng theo \( y \):
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = 4y - 4x - 8
\]

4. Giải hệ phương trình:
\[
8x - 4y - 4 = 0 \tag{1}
\]
\[
4y - 4x - 8 = 0 \tag{2}
\]

5. Từ (2) ta có:
\[
4y = 4x + 8 \implies y = x + 2
\]

6. Thay \( y = x + 2 \) vào (1):
\[
8x - 4(x + 2) - 4 = 0
\]
\[
8x - 4x - 8 - 4 = 0 \implies 4x - 12 = 0 \implies x = 3
\]
Khi \( x = 3 \), thay vào \( y = x + 2 \):
\[
y = 3 + 2 = 5
\]

7. Tìm giá trị của \( P \) tại điểm \( (3, 5) \):
\[
P(3, 5) = 4(3^2) + 2(5^2) - 4(3)(5) - 4(3) - 8(5) + 2050
\]
\[
= 4(9) + 2(25) - 60 - 12 - 40 + 2050
\]
\[
= 36 + 50 - 60 - 12 - 40 + 2050
\]
\[
= 36 + 50 - 60 - 12 - 40 + 2050 = 2024
\]

8. Kiểm tra tính chất cực trị bằng định lý Hess:
- Tính \( D = \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 P}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} \right)^2 \):
- \( \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} = 8 \), \( \frac{\partial^2 P}{\partial y^2} = 4 \), \( \frac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} = -4 \):
\[
D = 8 \cdot 4 - (-4)^2 = 32 - 16 = 16 > 0 \quad \text{và} \quad \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} > 0
\]
Điều này cho thấy đây là điểm cực tiểu.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là **2024**.