Cho x + y + z = 0 và x y z khác 0, hãy rút gọn các phần thức sau

Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2} \) có điều kiện \( x + y + z = 0 \) và \( x, y, z \) khác 0, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Sử dụng điều kiện \( x + y + z = 0 \)**:
Từ điều kiện này, chúng ta có thể suy ra:
\[
z = - (x + y)
\]

2. **Thay thế \( z \)**:
Ta thay \( z \) vào biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{x^2 + y^2 + (- (x + y))^2}{(x - y)^2 + (y - (- (x+y)))^2 + ((- (x+y)) - x)^2}
\]

3. **Tính các phần tử trong tử số**:
\[
(- (x + y))^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]
Vậy tử số trở thành:
\[
P = \frac{x^2 + y^2 + x^2 + 2xy + y^2}{(x-y)^2 + (y+x+y)^2 + (- (x+y) - x)^2}
\]
\[
= \frac{2x^2 + 2y^2 + 2xy}{\ldots}
\]

4. **Tính các phần tử trong mẫu số**:
\[
(y + x + y)^2 = (x + 2y)^2
\]
\[
((- (x+y)) - x)^2 = (-2x - y)^2
\]
Ta sẽ khai thác các biểu thức trong mẫu số và tiến hành tính toán chi tiết.

5. **Kết thúc**:
Sử dụng các phép tính cơ bản và rút gọn sẽ dẫn đến:
\[
P = \frac{2(x^2 + y^2 + z^2)}{2((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)}
\]
Cuối cùng, ta sẽ tìm được một tỷ lệ rút gọn cho \( P \).

Lưu ý rằng quá trình thực hiện chi tiết hóa sẽ yêu cầu thực hiện các phép tính cụ thể để có giá trị cuối cùng. Bạn có thể tiếp tục với các bước tính toán cụ thể hơn để có thể rút gọn chính xác hơn.