Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng một số kiến thức hình học cơ bản.

### Giả định
Giả sử tam giác vuông ABC có:
- \( AB = a \)
- \( AC = b \)
- \( BC = c \)

Từ định nghĩa về trung điểm, ta có:
- \( D \) là trung điểm của \( AB \) nên \( AD = \frac{a}{2} \)
- \( E \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BE = \frac{c}{2} \)
- \( F \) là trung điểm của \( AC \) nên \( AF = \frac{b}{2} \)

### Tính độ dài DF
Ta có \( DF \) là khoảng cách giữa hai điểm \( D \) và \( F \).

**Áp dụng công thức khoảng cách:**
\[
DF = \sqrt{(x_F - x_D)^2 + (y_F - y_D)^2}
\]

### Tọa độ các điểm
Giả sử:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(0, b) \)

Tọa độ các điểm:
- \( D \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \)
- \( E \left( 0, \frac{b}{2} \right) \)
- \( F \left( 0, \frac{b}{2} \right) \)

### Tính DF
\[
DF = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2}
= \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2}
\]

Vì \( a^2 + b^2 = c^2 \) (theo định lý Pythagore), ta có:
\[
DF = \frac{1}{2} c
\]

### Giải bài toán
Biết rằng \( DF = 3 \) cm:
\[
\frac{1}{2} c = 3 \implies c = 6 \text{ cm}
\]

### Kết luận
Do đó, \( BC = c = 6 \) cm.