Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Chứng minh: tam giác AEB = tam giác DEC.

**Giải:**

1. **Chứng minh hai tam giác có độ dài cạnh tương ứng bằng nhau:**
- Do E là trung điểm của BC, nên \( BE = EC \).
- Theo đề bài, ta có \( ED = EA \).

2. **Chứng minh các góc tương ứng bằng nhau:**
- Góc \( AEB \) và góc \( DEC \) đều là góc ở đỉnh E và \( \angle AEB = \angle DEC \).

Kết hợp cả hai yếu tố trên, ta có:

- Cạnh \( AB = DC \) (do chúng nằm cùng một đường thẳng với điểm D nằm trên tia đối của EA).
- Góc \( AEB = \angle DEC \).

Suy ra: \( \triangle AEB \cong \triangle DEC \) (theo tiêu chí cạnh - góc - cạnh).

### b) Chứng minh: AC song song BD.

**Giải:**

Từ tam giác \( AEB \) và \( DEC \) đã chứng minh ở phần a, ta biết:

- \( \angle ABE = \angle CDE \) (góc tương ứng)
- \( AE \) là Trung bình giữa hai tam giác.

Vì AE là đường thẳng chung, theo định lý Góc đồng vị ta có \( AC || BD \).

### c) Kẻ EI vuông góc AC, EK vuông góc BD. Chứng minh tam giác AIE = tam giác DKE.

**Giải:**

1. Bởi vì EI vuông góc với AC và EK vuông góc với BD, ta có:
- \( \angle AIE = 90^\circ \) và \( \angle DKE = 90^\circ \).
2. Cạnh \( AE = DE \) (theo phần a vì \( AE = ED \)).
3. Góc \( \angle AIE = \angle DKE = 90^\circ \).

Từ tất cả các yếu tố trên, ta có:

- Cạnh huyền (AE và DE) bằng nhau.
- Hai cạnh vuông góc tương ứng là bằng nhau.

Vậy, theo tiêu chí cạnh - góc - cạnh, ta có \( \triangle AIE \cong \triangle DKE \).

### d) Chứng minh I, E, K thẳng hàng.

**Giải:**

Ta đã chứng minh:

- \( \triangle AIE \cong \triangle DKE \) cho thấy với AE = DE và AK = DI (hai đoạn thẳng đáy so với đường thẳng).

Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng điểm I nằm trên đường thẳng EK sẽ thẳng hàng.

Với tất cả lý do trên, các điểm I, E và K sẽ thẳng hàng.

### Kết luận:
Từ các chứng minh trên, ta đã hoàn thành yêu cầu cho từng phần trong bài toán.