Để tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = (x^4 + 1)(y^4 + 1) \) với điều kiện \( x + y = \sqrt{10} \) và \( x, y > 0 \), ta sẽ sử dụng phép thế và bất đẳng thức.

1. **Thay thế**: Ta sẽ diễn tả \( y \) theo \( x \):
\[
y = \sqrt{10} - x
\]

2. **Biểu thức P**: Thay vào biểu thức \( P \):
\[
P = (x^4 + 1)((\sqrt{10} - x)^4 + 1)
\]

3. **Tính toán \( y^4 \)**: Trước khi khai triển, ta sẽ tính \( (\sqrt{10} - x)^4 \):
\[
(\sqrt{10} - x)^4 = 10 - 4\sqrt{10}x + 6x^2 - 4x^3 + x^4
\]
Tuy nhiên, vì tổng hợp lại là hơi phức tạp, ta quay lại cách tiếp cận khác.

4. **Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (CS)**:
\[
(x^4 + 1)(y^4 + 1) \geq (x^2y^2 + 1)^2
\]
Với \( x + y = \sqrt{10} \), ta có:
\[
xy \leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2 = \frac{10}{4} = 2.5
\]

5. **Tính giá trị \( x^2 + y^2 \)**:
Theo công thức:
\[
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 10 - 2xy
\]

6. **Tối ưu \( xy \) và \( x^2 + y^2 \)**:
Đặt \( xy = t \), với \( 0 < t \leq 2.5 \). Từ đó, ta có:
\[
P \geq (t^2 + 1)^2
\]

7. **Tìm cực tiểu**: Ta sẽ tìm giá trị tối thiểu của \((t^2 + 1)^2\) với \( t \) trong khoảng \( [0, 2.5] \):
\[
t = 2.5 \Rightarrow (t^2 + 1)^2 = (2.5^2 + 1)^2 = (6.25 + 1)^2 = 7.25^2 = 52.5625
\]

8. **Kiểm tra có đạt được**:
Khi \( x = y \), ta có \( 2x = \sqrt{10} \Rightarrow x = y = \frac{\sqrt{10}}{2} \).
Tính:
\[
P = \left(\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^4 + 1\right)^2 = \left(\frac{10^2}{16} + 1\right)^2 = \left(\frac{25}{4} + 1\right)^2 = \left(\frac{29}{4}\right)^2 = \frac{841}{16}
\]

9. **So sánh \((t^2 + 1)^2\)**:
Chúng ta cần so sánh \( 52.5625 \) với \( \frac{841}{16} \):
\[
\frac{841}{16} = 52.5625
\]
Vậy sự tối thiểu đạt được khi \( x = y = \frac{\sqrt{10}}{2} \).

**Kết luận**: Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( \frac{841}{16} = 52.5625 \).