Để chứng minh tứ giác DEGH là hình vuông, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Đặt giả thiết**: Gọi \( A \) là đỉnh vuông của tam giác vuông cân \( ABC \), với \( AB = AC \). Cạnh \( BC \) được chia thành ba đoạn bằng nhau, \( BD = DE = EC \).

2. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử \( B(0, 0) \), \( C(b, 0) \), \( A(0, b) \).
- Do \( BD = DE = EC = \frac{b}{3} \):
- \( D\left(\frac{b}{3}, 0\right) \)
- \( E\left(\frac{2b}{3}, 0\right) \)

3. **Xác định các điểm H và G**:
- Đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại điểm \( D \) có phương trình \( x = \frac{b}{3} \).
- Đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại điểm \( E \) có phương trình \( x = \frac{2b}{3} \).
- Các điểm \( H \) và \( G \) tương ứng với giao điểm của đường thẳng vuông góc với các cạnh \( AB \) và \( AC \).

4. **Tính toán tọa độ H và G**:
- Khi \( x = \frac{b}{3} \), đường thẳng \( AB \) có phương trình \( y = -x + b \):
\[
H\left(\frac{b}{3}, b - \frac{b}{3}\right) = \left(\frac{b}{3}, \frac{2b}{3}\right)
\]

- Tương tự, khi \( x = \frac{2b}{3} \) và \( AC \) cũng có phương trình tương tự:
\[
G\left(\frac{2b}{3}, b - \frac{2b}{3}\right) = \left(\frac{2b}{3}, \frac{b}{3}\right)
\]

5. **Chứng minh DEGH là hình vuông**:
- Tính toán độ dài các đoạn \( DE \), \( EH \), \( HG \) và \( GD \):
- Khoảng cách \( DE = \frac{b}{3} \)
- Khoảng cách \( DH \):
\[
DH = \sqrt{\left(\frac{b}{3} - \frac{b}{3}\right)^2 + \left(0 - \frac{2b}{3}\right)^2} = \frac{2b}{3}
\]
- Khoảng cách \( HG \):
\[
HG = \sqrt{\left(\frac{2b}{3} - \frac{b}{3}\right)^2 + \left(\frac{b}{3} - \frac{2b}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{b}{3}\right)^2 + \left(-\frac{b}{3}\right)^2} = \frac{b}{3}\sqrt{2}
\]

- Do các cạnh đều bằng nhau và các góc đều là 90 độ (vì các đường thẳng vuông góc), nên tứ giác DEGH là một hình vuông.

Vậy tứ giác DEGH là hình vuông.