Để chứng minh tính chất của tứ giác và các điểm trong các phần hỏi, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học và đại số để giải quyết từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác BMNP là hình bình hành

Xét tam giác ABC vuông tại A (với A tọa độ (0, 0), B tọa độ (a, 0), C tọa độ (0, b)).

- Điểm M là trung điểm của AB:
\[
M\left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]

- Điểm N là trung điểm của AC:
\[
N\left(0, \frac{b}{2}\right)
\]

- Điểm P là trung điểm của BC:
\[
P\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

Ta sẽ tính toán tọa độ của các điểm B, M, N, P:
- B(A) = (a, 0)
- M(A) = \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
- N(A) = \(\left(0, \frac{b}{2}\right)\)
- P(A) = \(\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)\)

Bây giờ, ta chứng minh BM || NP và BN || MP.

Dễ dàng nhận thấy:
- Vectơ BM = \(\left(\frac{a}{2} - a, 0 - 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, 0\right)\)
- Vectơ NP = \(\left(\frac{a}{2} - 0, \frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)\)

Do đó, BM // NP.

Tương tự:
- Vectơ BN = \(\left(0 - a, \frac{b}{2} - 0\right) = \left(-a, \frac{b}{2}\right)\)
- Vectơ MP = \(\left(\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, \frac{b}{2} - 0\right) = \left(0, \frac{b}{2}\right)\)

Do đó, BN // MP.

Vì hai cặp cạnh đối diện BM // NP và BN // MP nên tứ giác BMNP là hình bình hành.

### b) Lấy điểm Q sao cho N là trung điểm PQ, lấy điểm R sao cho M là trung điểm của PR, chứng minh ba điểm R, A, Q thẳng hàng

Để chứng minh rằng ba điểm R, A, Q thẳng hàng, ta có thể tính toán tọa độ của các điểm Q và R, với N là trung điểm của PQ và M là trung điểm của PR.

- Giả sử điểm Q có tọa độ \((x_Q, y_Q)\). Vì N là trung điểm của PQ, chúng ta có:

\[
\left(0, \frac{b}{2}\right) = \left(\frac{x_Q + \frac{a}{2}}{2}, \frac{y_Q + \frac{b}{2}}{2}\right)
\]

Từ đó, ta có thể tính được \(x_Q\) và \(y_Q\).

- Tương tự, xét điểm R, với M là trung điểm của PR, và \(M\) có tọa độ \(\left(\frac{a}{2}, 0\right)\):

\[
\left(\frac{a}{2}, 0\right) = \left(\frac{x_R + \frac{a}{2}}{2}, \frac{y_R + 0}{2}\right)
\]

Ta cũng có thể tính được \(x_R\) và \(y_R\).

Bây giờ, để chứng minh R, A, Q thẳng hàng, ta sẽ kiểm tra xem hệ số góc của đoạn thẳng AQ và AR có bằng nhau hay không.

### c) Chứng minh \(AC \times PR = AB \times PQ\)

Để chứng minh điều này, ta xét độ dài các đoạn thẳng:

- Đoạn AC có độ dài:
\[
AC = b
\]

- Đoạn AB có độ dài:
\[
AB = a
\]

- Đoạn PR (khi R đã được xác định từ phần b) có thể được tính bằng công thức độ dài.

- Đoạn PQ (khi Q đã được xác định từ phần b) cũng được tính bằng công thức độ dài.

Sau khi tính toán, chúng ta chỉ cần thay các giá trị vào và chứng minh rằng \(b \cdot \text{(độ dài PR)} = a \cdot \text{(độ dài PQ)}\).

Như vậy, qua các bước trên, chúng ta đã chứng minh xong các phần yêu cầu của bài toán.