Tìm số tự nhiên n để n^2 + 6 chia hết cho n + 2

Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^2 + 6 \) chia hết cho \( n + 2 \), chúng ta cần tìm điều kiện để \( n^2 + 6 \equiv 0 \mod (n + 2) \).

Đầu tiên, hãy viết biểu thức:

\[
n^2 + 6 = (n + 2)(n - 2) + 10
\]

Từ biểu thức trên, ta có:

\[
n^2 + 6 \equiv 10 \mod (n + 2)
\]

Điều này có nghĩa là \( 10 \) cần phải chia hết cho \( n + 2 \).

Do đó, \( n + 2 \) là ước của \( 10 \). Các ước của \( 10 \) là \( 1, 2, 5, 10 \).

Từ đó ta có các phương trình sau:

- Nếu \( n + 2 = 1 \), thì \( n = -1 \) (không phải số tự nhiên).
- Nếu \( n + 2 = 2 \), thì \( n = 0 \) (là số tự nhiên).
- Nếu \( n + 2 = 5 \), thì \( n = 3 \) (là số tự nhiên).
- Nếu \( n + 2 = 10 \), thì \( n = 8 \) (là số tự nhiên).

Vậy các giá trị của \( n \) thỏa mãn là \( n = 0, 3, 8 \).

Tiếp theo, ta kiểm tra điều kiện thứ hai:

Để \( n^2 = 6 \) chia hết cho \( n + 2 \):

Suy ra \( n^2 \equiv 6 \mod (n + 2) \), tức là \( n^2 - 6 \equiv 0 \mod (n + 2) \).

Thay \( n = -2 \) vào \( n^2 - 6 \):

\[
(-2)^2 - 6 = 4 - 6 = -2
\]

Ta cần giải \( -2 \equiv 0 \mod (n + 2) \), tức là \( 2 \) phải chia hết cho \( n + 2 \). Các ước của \( 2 \) là \( 1, 2 \).

- Nếu \( n + 2 = 1 \), thì \( n = -1 \) (không phải số tự nhiên).
- Nếu \( n + 2 = 2 \), thì \( n = 0 \) (là số tự nhiên).

Do đó, chỉ có \( n = 0 \) đáp ứng cả hai điều kiện.

Vậy, số tự nhiên \( n \) cần tìm là \( n = 0 \).