Để chứng minh các kết luận trong bài toán đã nêu, ta sẽ lần lượt làm rõ các phần sau:

### 1) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật

Ta đã biết rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A với H là đường cao từ A xuống cạnh BC. Từ định nghĩa, có:

- E là hình chiếu của H trên AB.
- F là hình chiếu của H trên AC.

Bây giờ, để chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai điều kiện sau:

- AE // HF và AF // EH.
- AE = HF và AF = EH.

Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa hình chiếu, ta có:

- AE ⊥ AB và HF ⊥ AC.
- AF ⊥ AC và EH ⊥ AB.

Như vậy, do H là hình chiếu của A trong tam giác vuông, ta có:

- AE // HF vì cả hai đều là đường thẳng vuông góc với AC.
- AF // EH vì cả hai đều là đường thẳng vuông góc với AB.

Do đó, ta đã có đối diện AE và HF song song, đối diện AF và EH cũng song song.

Tiếp theo, để chứng minh AE = HF và AF = EH, theo tính chất của hình chiếu, chúng ta cũng có:

- Hai đoạn AE và HE đều là các đoạn thẳng vuông góc, do đó phải bằng nhau về độ dài (nguyên tắc hình chiếu).
- Tương tự cho AF và EH.

Vì vậy, tất cả các điều trên suy ra rằng tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

### 2) Chứng minh tứ giác BDCF là hình bình hành

Ta lấy M là trung điểm của BC và đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt FM tại D. Chứng minh tứ giác BDCF là hình bình hành:

- Theo giả thiết, D nằm trên đường thẳng FM, mà FM là đường thẳng nối giữa hai điểm (F, M).
- Đường thẳng BD vuông góc với AB.

Xét các vectơ:

- Ta có \( \vec{BD} \perp \vec{AB} \) và \( AB \) là cạnh bảo đảm không có điểm tọa độ trùng nhau giữa BC và AB.
- Hơn nữa, vì M là trung điểm BC, nên có \( \vec{BM} = \vec{MC} \).

Để chứng minh BDCF là hình bình hành, chúng ta cần chỉ ra rằng:

\[
\vec{BF} + \vec{FC} = \vec{CD} + \vec{DB}
\]

Từ đó đưa đến điều kiện:

\[
\vec{BF} = \vec{DC}
\]

Với D nằm trên FM, và FM có tính chất vuông góc, ta tiến hành xét hình bình hành và các vectơ tương tự để chứng minh chiều dài và hướng giữa các cạnh BD, CF.

Khi đã có những kết lượng thông qua mối quan hệ song song và độ dài giữa các cạnh, ta có thể kết luận rằng tứ giác BDCF là hình bình hành.

### Kết luận:

Sau khi chứng minh các khía cạnh cần thiết, ta có thể khẳng định rằng:

1. Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
2. Tứ giác BDCF là hình bình hành.