Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = |x + 1011| + |x + 1012| \), chúng ta sẽ phân tích các trường hợp khác nhau dựa trên giá trị của \( x \).

1. **Trường hợp 1:** \( x < -1012 \)

Ở trường hợp này, cả hai biểu thức trong giá trị tuyệt đối đều âm, do đó ta có:
\[
A = -(x + 1011) - (x + 1012) = -2x - 2023
\]

2. **Trường hợp 2:** \( -1012 \leq x < -1011 \)

Ở trường hợp này, \( |x + 1011| \) vẫn âm và \( |x + 1012| \) trở thành dương. Ta có:
\[
A = -(x + 1011) + (x + 1012) = 1
\]

3. **Trường hợp 3:** \( x \geq -1011 \)

Tại đây, cả hai biểu thức đều dương:
\[
A = (x + 1011) + (x + 1012) = 2x + 2023
\]

**Bây giờ, chúng ta so sánh giá trị của \( A \) ở các trường hợp khác nhau:**

- Trong Trường hợp 1, biểu thức có dạng \( A = -2x - 2023 \), giá trị này sẽ giảm khi \( x \) giảm xuống và không đạt được giá trị nhỏ nhất cho \( A \) ở \( x < -1012 \).

- Trong Trường hợp 2, \( A = 1 \) khi \( x = -1012 \) và cũng sẽ là 1 khi \( x \) ở một số gần với giá trị này.

- Trong Trường hợp 3, \( A = 2x + 2023 \) sẽ tăng khi \( x \) tăng và sẽ lớn hơn 1 ở \( x \geq -1011 \).

**Tóm lại**, giá trị nhỏ nhất của \( A \) xảy ra tại \( x = -1012 \) với giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
\[
\boxed{1}
\]