Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách chi tiết.

### a) Tứ giác ANDM là hình gì?

Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB = 3 \) cm và \( AC = 4 \) cm có thể được vẽ trong hệ tọa độ như sau:
- Điểm \( A(0, 0) \)
- Điểm \( B(3, 0) \)
- Điểm \( C(0, 4) \)

Trung tuyến \( AD \) của tam giác \( ABC \) sẽ nối điểm \( A \) với điểm trung điểm của \( BC \). Tính tọa độ điểm \( D \):
\[ B(3, 0), C(0, 4) \]
Tọa độ trung điểm \( D \) là:
\[ D = \left( \frac{3 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \]

Kẻ các đoạn vuông góc:
- \( DM \) vuông góc với \( AB \) tại \( M \) trên \( AB \),
- \( DN \) vuông góc với \( AC \) tại \( N \) trên \( AC \).

Cụ thể, điểm \( M \) sẽ nằm trên trục hoành (đường thẳng \( y = 0 \)), và điểm \( N \) sẽ nằm trên trục tung (đường thẳng \( x = 0 \)). Gọi tọa độ của \( M \) là \( M(x, 0) \) và tọa độ của \( N \) là \( N(0, y) \).

Tứ giác \( ANDM \) sẽ hình thành từ các đỉnh \( A(0, 0) \), \( N(0, y) \), \( D(\frac{3}{2}, 2) \), và \( M(x, 0) \).

### Phân tích hình dạng:
Tứ giác này sẽ là tứ giác không có tính chất đặc biệt nào (không phải hình chữ nhật, hình vuông, hoặc hình thoi), vì các cạnh không song song hay bằng nhau một cách tổng quát.

### b) Tính độ dài MN.

Để tính độ dài \( MN \), chúng ta cần xác định tọa độ của \( M \) và \( N \). Ta có:
- Tọa độ điểm \( D \): \( D(\frac{3}{2}, 2) \)
- Đoạn \( DM \) vuông góc với \( AB \) (trục hoành) nên độ y của \( D \) giữ nguyên, làm cho tọa độ điểm \( M \) là \( M(\frac{3}{2}, 0) \).

- Tương tự cho điểm \( N \) (phương pháp tính cân bằng dưới \( D \)):
Điểm \( D \) có tọa độ \( \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \), từ đó \( DN \) vuông góc với \( AC \) (trục tung), vì vậy tạo điểm \( N(0, 2) \).

Tính chiều dài đoạn thẳng \( MN \):
\[
MN = \sqrt{(M_x - N_x)^2 + (M_y - N_y)^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2} - 0\right)^2 + (0 - 2)^2}
= \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{9 + 16}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \text{ cm}.
\]

### c) Chứng minh \( AE \parallel MN \).

Chúng ta biết rằng \( MD = ME \) nên \( E \) được vẽ lên trong chiều ngược lại với \( M \).

Vì \( DM \) và \( DN \) đều vuông góc với các cạnh thích hợp thì hộp chữ nhật \( ADEW \) tạo thành sẽ giữ nguyên độ dốc. Hơn nữa, nếu \( D \) được giữ lại trong chiều đối diện sẽ tạo các đoạn song song \( AE \) và \( MN \).

### d) Tính chu vi của tứ giác \( AEBD \).

Chu vi của \( AEBD \) sẽ bằng tổng chiều dài các cạnh của tứ giác này:
\[
P = AB + BD + DA + AE.
\]

- Chiều dài \( AB = 3 \) cm,
- Chiều dài \( AD = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2^2} = 2.5 \) cm (đoạn giữa),
- Chiều dài \( BD = D(\frac{3}{2}, 2) - B(3, 0) \) sẽ được tính dựa trên số liệu 2D.
- Chiều dài \( AE \) \(= MD\).

**Chú ý:** Cần số liệu hoặc tọa độ của các điểm để hoàn thành sự tính toán này.

Như vậy giải quyết các câu hỏi từ bài toán cho thấy, bằng cách sử dụng tọa độ, ta có thể xác định các đặc tính của hình học từ đoạn thẳng, tứ giác cho đến khoảng cách.