Để chứng minh các tính chất của hình vẽ trong tam giác vuông ABC tại B, ta sẽ thực hiện theo từng yêu cầu:

### a. Chứng minh tứ giác BEMF là hình chữ nhật

1. **Chứng minh BE vuông góc với MF**:
- MF vuông góc với AB (điều đã cho).
- AB vuông góc với BC (tam giác ABC vuông tại B).
- Do đó, EF cũng vuông góc với BE (xét tam giác vuông tại E).

2. **Chứng minh EM vuông góc với BF**:
- ME vuông góc với BC (điều đã cho).
- AB vuông góc với BC.
- Do đó, MF cũng vuông góc với BE (sử dụng tính đối xứng).

Vậy, tứ giác BEMF có tất cả các góc vuông, do đó BEMF là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh BE = EC, kẻ MD là tia đối của ME sao cho ME = MD. Chứng minh tứ giác AECD là hình bình hành

1. **Chứng minh BE = EC**:
- M là trung điểm của AC ⇒ AM = MC.
- Do đó, BE = EC.

2. **Chứng minh tứ giác AECD là hình bình hành**:
- MD là tia đối của ME với ME = MD.
- Khi kẻ MD ta có AE // CD và AE = CD (từ BE = EC).

Do đó, tứ giác AECD là hình bình hành.

### c. Gọi I là giao điểm của BM và AE, K là giao điểm của BD và AE. Tính KI/DC

Vì AE là đường chéo của hình bình hành AECD, do đó I và K là giao điểm của các đường chéo trong hình bình hành. Trong hình bình hành, các đường chéo chia nhau thành tỷ lệ bằng nhau, do đó:

\[
\frac{KI}{DC} = \frac{BE}{EC} = 1
\]

Vậy \(\boxed{1}\).

### Kết luận
- Tứ giác BEMF là hình chữ nhật.
- Tứ giác AECD là hình bình hành.
- Tỷ lệ KI/DC bằng 1.