Để giải phương trình \( |x-1| + |x-7| = 6 - (x-2)^2 \), chúng ta sẽ làm từng bước như sau:

### Bước 1: Phân tích các trường hợp của dấu tuyệt đối

Để giải phương trình chứa dấu tuyệt đối, chúng ta cần phân tích các trường hợp dựa vào các giá trị điểm ngắt của các biểu thức trong dấu tuyệt đối. Trong trường hợp này, chúng ta có hai điểm ngắt là \( x = 1 \) và \( x = 7 \). Do đó, chúng ta sẽ xem xét các khoảng sau:

1. \( x < 1 \)
2. \( 1 \leq x < 7 \)
3. \( x \geq 7 \)

### Bước 2: Giải từng trường hợp

#### Trường hợp 1: \( x < 1 \)

Trong khoảng này, \( |x-1| = 1-x \) và \( |x-7| = 7-x \). Thay vào phương trình:

\[
(1 - x) + (7 - x) = 6 - (x-2)^2
\]

Tính toán:

\[
8 - 2x = 6 - (x^2 - 4x + 4)
\]
\[
8 - 2x = 2 - x^2 + 4x - 4
\]
\[
8 - 2x = -x^2 + 4x - 2
\]
Chuyển hết về một bên:

\[
x^2 - 6x + 10 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2:

\[
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4
\]

Phương trình này không có nghiệm thực.

#### Trường hợp 2: \( 1 \leq x < 7 \)

Trong khoảng này, \( |x-1| = x-1 \) và \( |x-7| = 7-x \). Thay vào phương trình:

\[
(x-1) + (7-x) = 6 - (x-2)^2
\]

Tính toán:

\[
6 = 6 - (x^2 - 4x + 4)
\]
\[
6 = 6 - x^2 + 4x - 4
\]
\[
0 = -x^2 + 4x - 4
\]
Chuyển hết về một bên và đảo ngược dấu:

\[
x^2 - 4x + 4 = 0
\]

Giải phương trình:

\[
(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2
\]

Kiểm tra: \( 2 \) có nằm trong khoảng \( [1, 7) \) không? Có.

#### Trường hợp 3: \( x \geq 7 \)

Trong khoảng này, \( |x-1| = x-1 \) và \( |x-7| = x-7 \). Thay vào phương trình:

\[
(x-1) + (x-7) = 6 - (x-2)^2
\]

Tính toán:

\[
2x - 8 = 6 - (x^2 - 4x + 4)
\]
\[
2x - 8 = 6 - x^2 + 4x - 4
\]
\[
2x - 8 = 2 - x^2 + 4x
\]
Chuyển hết về một bên:

\[
x^2 - 2x - 10 = 0
\]

Giải phương trình:

\[
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 4 + 40 = 44
\]
\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2} = 1 \pm \sqrt{11}
\]

Kiểm tra điều kiện \( x \geq 7 \):

Chỉ có nghiệm \( x = 1 + \sqrt{11} \). Tính:

\[
1 + \sqrt{11} \approx 1 + 3.32 = 4.32 < 7
\]

Vậy không có nghiệm trong khoảng này.

### Kết luận

Nghiệm duy nhất của phương trình là \( x = 2 \).