Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng tất cả các góc của tứ giác đều là góc vuông.

1. **Góc AED**: Vì DE được vẽ vuông góc với AB (tức là DE ⊥ AB), mà AB là cạnh của tam giác vuông ABC tại A, nên góc ADB cũng vuông, và do đó:
\[
\angle AED = 90^{\circ}
\]

2. **Góc EDF**: Tương tự, DF được vẽ vuông góc với AC (tức là DF ⊥ AC), nên:
\[
\angle EDF = 90^{\circ}
\]

3. **Góc ADF và góc DEF**:
- Tứ giác AEDF có ba góc v.và góc ADB, ADC cũng là vuông, do đó:
- Từ tính chất của tứ giác có hai cặp góc vuông, ta suy ra rằng tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác ADEG là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác ADEG là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

1. **Chứng minh AG = DE**: Theo giả thiết, AG được lấy sao cho AG = AF. Mà AF bằng cạnh DF trong tam giác vuông (AF = DF). Thêm vào đó, DE cũng bằng DF (cạnh vuông góc) vì DE và DF đều vuông góc với cạnh tương ứng.

Do đó:
\[
AG = DE
\]

2. **Chứng minh AD = AG**: Vì AD là đường cao của tam giác vuông tại A, nên cạnh AD cùng khoảng cách là từ điểm A đến đường thẳng DF.

Như vậy, ta có:
\[
AD = AG
\]

Từ hai cặp cạnh đối diện bằng nhau: AG = DE và AD = AG, ta có thể kết luận rằng ADEG là hình bình hành.

### c) Chứng minh AI vuông góc với ID

Để chứng minh AI vuông góc với ID, ta cần sử dụng hình vẽ:

1. **Xét điểm I**: FI được vẽ vuông góc với ED, nghĩa là AI có thể được coi là trung điểm của DE.

2. **Góc giữa AI và ID**:
- Từ hình vẽ, ta thấy rằng AI vuông góc với DE. Mà DE là cạnh đối diện với ID.

Do đó, vì FI ⊥ ED và AI là đường cao từ A ta có:
\[
AI \perp ID
\]

### Kết luận:

Như vậy, với các chứng minh trên, chúng ta đã chứng minh rằng:
- Tứ giác AEDF là hình chữ nhật.
- Tứ giác ADEG là hình bình hành.
- AI vuông góc với ID.