Đề bài: Cho bốn số tự nhiên a, b, c, d khác 0 thỏa mãn: a² + b² = c² + d². Chứng minh a+b+c+d là một hợp số.

Chứng minh:

Bước 1: Biến đổi biểu thức:

Xét biểu thức A = (a² + b² + c² + d²) - (a + b + c + d).

• A = (a² - a) + (b² - b) + (c² - c) + (d² - d).
• A = a(a-1) + b(b-1) + c(c-1) + d(d-1).

Bước 2: Phân tích:

• Với mọi số tự nhiên n, ta có n(n-1) luôn chia hết cho 2 (vì đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp).
• Do đó, mỗi số hạng trong A đều chia hết cho 2.
• Suy ra, A chia hết cho 2.

Bước 3: Kết luận:

• Ta có: a² + b² = c² + d².
• => a² + b² + c² + d² = 2(a² + b²)
• => A = 2(a² + b²) - (a + b + c + d)
• Vì A chia hết cho 2 và a² + b² là số nguyên dương nên a + b + c + d > 2.
• Vậy a + b + c + d là một hợp số.

Kết luận:

Từ các bước chứng minh trên, ta đã chứng minh được rằng với điều kiện đề bài cho, tổng a + b + c + d luôn là một hợp số.

Giải thích thêm:

• Hợp số: Là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước số.
• Số nguyên tố: Là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.
• Việc chứng minh A chia hết cho 2 cho thấy A là một số chẵn và lớn hơn 2. Mọi số chẵn lớn hơn 2 đều là hợp số.

Tổng kết:

Bài toán này sử dụng kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử và tính chất chia hết để chứng minh một tính chất số học. Đây là một ví dụ điển hình về việc kết hợp kiến thức đại số và số học để giải quyết các bài toán.