Cho hình chữ nhật MNPQ. Kẻ MH ⊥ QN (H ∈ QN). Gọi E, F, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MH, HN, PQ. Chứng minh rằng:

• a) EF // MN và EF = 1/2 MN
• b) Tứ giác EFDQ là hình bình hành.
• c) MF ⊥ FD

a) Chứng minh EF // MN và EF = 1/2 MN

• Xét ΔMHN có:
  • E là trung điểm của MH (gt)
  • F là trung điểm của HN (gt)
  • ⇒ EF là đường trung bình của ΔMHN (định nghĩa đường trung bình của tam giác)
  • ⇒ EF // MN và EF = 1/2 MN (tính chất đường trung bình của tam giác)

b) Chứng minh tứ giác EFDQ là hình bình hành

• Ta có:
  • EF // MN (cmt)
  • Mà MN // PQ (do MNPQ là hình chữ nhật)
  • ⇒ EF // PQ
  • Xét tứ giác EFDQ có:
    • EF // DQ (cmt)
    • DF // EQ (do DF là đường trung bình của ΔMHN và EQ là đường trung bình của ΔMNQ)
    • ⇒ Tứ giác EFDQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

c) Chứng minh MF ⊥ FD

• Xét ΔMFN và ΔFDH có:
  • MF = FD (do F là trung điểm của HN)
  • ∠MFN = ∠FDH (đối đỉnh)
  • FN = DH (do DF là đường trung bình của ΔMHN)
  • ⇒ ΔMFN = ΔFDH (c-g-c)
  • ⇒ ∠FMN = ∠FHD (hai góc tương ứng)
  • Mà: ∠FMN + ∠FHD = 90° (do MH ⊥ QN)
  • ⇒ ∠FMN = ∠FHD = 45°
  • Xét ΔMFD có:
    • ∠FMN + ∠MFD + ∠FDM = 180° (tổng ba góc trong một tam giác)
    • ⇒ ∠MFD = 180° - (∠FMN + ∠FDM) = 180° - (45° + 90°) = 45°
    • Vậy: ∠MFD = 45° ⇒ MF ⊥ FD

• EF // MN và EF = 1/2 MN
• Tứ giác EFDQ là hình bình hành
• MF ⊥ FD

Lưu ý:

• Hình vẽ: Để hiểu rõ hơn về bài toán, bạn nên vẽ hình minh họa.
• Các định lý, tính chất: Trong quá trình chứng minh, cần sử dụng các định lý, tính chất về đường trung bình của tam giác, hình bình hành, tam giác vuông.

Với cách giải này, bạn đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của đề bài.

Nếu bạn có bất kỳ thắc mắc nào khác, đừng ngần ngại hỏi nhé!

Bạn có muốn tôi giải thêm bài tập khác không?

Để hỗ trợ tốt hơn, bạn có thể cung cấp thêm thông tin như:

• Hình vẽ minh họa (nếu có)
• Các dữ liệu đã biết
• Những gì bạn đã thử và gặp khó khăn

Tôi sẽ cố gắng giải đáp một cách chi tiết và dễ hiểu nhất.