Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[ A = -x^2 - y^2 + xy + x + y + 10 \]

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = -x^2 - y^2 + xy + x + y + 10 \), ta có thể sử dụng phương pháp tính đạo hàm hoặc biến đổi thành dạng tối ưu hơn.

**Bước 1:** Biến đổi biểu thức

Ta có thể sắp xếp lại các hạng tử của A:

\[
A = -x^2 - y^2 + xy + x + y + 10
\]

**Bước 2:** Tính đạo hàm riêng

Tính đạo hàm riêng của A theo x và y:

\[
\frac{\partial A}{\partial x} = -2x + y + 1
\]
\[
\frac{\partial A}{\partial y} = -2y + x + 1
\]

**Bước 3:** Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0

Giải hệ phương trình sau:

\[
-2x + y + 1 = 0 \quad (1)
\]
\[
-2y + x + 1 = 0 \quad (2)
\]

Từ (1), ta có \( y = 2x - 1 \).

Thay \( y \) vào (2):

\[
-2(2x - 1) + x + 1 = 0
\]

Giải phương trình này:

\[
-4x + 2 + x + 1 = 0 \implies -3x + 3 = 0 \implies x = 1
\]

Thay \( x = 1 \) vào (1):

\[
-2(1) + y + 1 = 0 \implies y = 1
\]

**Bước 4:** Tính giá trị A tại điểm cực trị

Thay \( x = 1 \) và \( y = 1 \) vào biểu thức A:

\[
A(1, 1) = -1^2 - 1^2 + 1 \cdot 1 + 1 + 1 + 10 = -1 - 1 + 1 + 1 + 1 + 10 = 11
\]

**Bước 5:** Kiểm tra tính chất của cực trị bằng định lý đạo hàm bậc hai

Tính đạo hàm bậc hai:

\[
\frac{\partial^2 A}{\partial x^2} = -2, \quad \frac{\partial^2 A}{\partial y^2} = -2, \quad \frac{\partial^2 A}{\partial x \partial y} = 1
\]

Tính determinant của ma trận Hessian:

\[
H = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-2)(-2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3
\]

Do \( H > 0 \) và \( \frac{\partial^2 A}{\partial x^2} < 0 \), nên tại điểm này có cực đại.

**Kết luận**

Giá trị lớn nhất của biểu thức \( A \) là \( \boxed{11} \).