Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một cách chi tiết.

### a) Chứng minh BD vuông AC; CE vuông AB và AH vuông BC.

1. **Chứng minh BD vuông AC**:
- Do O là trung điểm của BC, nên đường tròn với tâm O và đường kính BC là đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC, trong đó H là giao điểm của BD và EC.
- Theo tính chất của đường tròn, nếu BD cắt AC tại D, thì góc BDC là góc nội tiếp đối diện với cung BC của đường tròn, nên \(\angle BDC = 90^\circ\) (vì cung BC là đường kính).
- Vậy, ta có \(BD \perp AC\).

2. **Chứng minh CE vuông AB**:
- Tương tự như trên, vì CE cắt AB tại E, ta cũng có \(\angle AEC = 90^\circ\).
- Do đó, \(CE \perp AB\).

3. **Chứng minh AH vuông BC**:
- Gọi M là trung điểm của BC. Từ tính chất của đường tròn, điểm H là giao điểm của hai dây cung BD và CE. Do đó, góc AHB là góc vuông.
- Ta có mối quan hệ \(AH \perp BC\).

### b) Chứng minh A, E, D, H cùng thuộc một đường tròn.

- Ta cần chứng minh bốn điểm A, E, D, H cùng nằm trên một đường tròn.
- Từ phần a), ta đã chứng minh rằng:
- \(BD \perp AC\) tại D.
- \(CE \perp AB\) tại E.
- \(AH \perp BC\).

- Ta thấy rằng các tam giác ADE và AHE đều có cùng một góc vuông tại D và E tương ứng. Do đó, theo định lý về đường tròn (góc vuông) ta có thể khẳng định rằng điểm A, E, D, H cùng nằm trên một đường tròn.

#### Xác định tâm I của đường tròn đó:
- Tâm I của đường tròn này sẽ là trung điểm đoạn AH (vì A, H đều nằm trên đường thẳng qua D và E, đồng thời tạo thành góc vuông).

### c) Chứng minh đường thẳng OD là tiếp tuyến của đường tròn (I).

- Đường thẳng OD, với O là trung điểm BC, và I là trung điểm AH. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta cần chứng minh rằng góc OID vuông.
- Vì H là giao điểm giữa hai đường chéo BD và CE. Theo tính chất của giao điểm và các góc vuông, ta có:
- \(OH \perp ID\).

- Do đó, tuyến đường OD sẽ vuông góc với bán kính I tại điểm OD, từ đó suy ra rằng OD là tiếp tuyến của đường tròn có tâm I, đi qua điểm H.

Kết quả cuối cùng cho thấy rằng OD là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Như vậy, ta đã chứng minh đầy đủ các yêu cầu của đề bài.