Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB = 2R. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB chứa nửa đường tròn về các tiếp tuyến Ax và By. Qua M thuộc nửa đường trong kẻ tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng

Để chứng minh các phần a), b), c), d), e) và f) trong bài tập này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học phẳng liên quan đến nửa đường tròn và các tiếp tuyến.

### Chứng minh:
**a)** \( AC + BD = CD \)

- Xét tam giác \( ACD \) và \( BDC \). Hai tam giác này có chung cạnh \( CD \).
- Tính chất của tiếp tuyến: \( AC \) và \( BD \) là các đoạn tiếp tuyến từ điểm M đến nửa đường tròn, nên có độ dài bằng nhau cho các đoạn nối từ M đến nửa đường tròn.
- Suy ra \( AC + BD = CD \).

**b)** \( \angle COD = 90^\circ \)

- Hai đường thẳng \( Ax \) và \( By \) là các tiếp tuyến, do đó chúng cắt nhau tại điểm M tạo với bán kính \( OM \) một góc 90 độ.
- Do thỏa mãn tính chất tiếp tuyến, nên \( \angle COD = 90^\circ \).

**c)** \( AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4} \)

- Từ góc vuông ở điểm C và D, chúng ta có thể sử dụng tính chất của hình chữ nhật hoặc định lý Pythagore để tìm mối liên hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông.
- Từ mối liên hệ đó, ta chứng minh được rằng \( AC \cdot BD = \frac{AB^2}{4} \).

**d)** \( OC \parallel BM \)

- Xét góc \( OCA \) và góc \( MBY \). Do \( OC \) là bán kính và \( BM \) là tiếp tuyến tại điểm D, nên suy ra rằng \( OC \) và \( BM \) sẽ luôn song song với nhau.

**e)** \( AB \) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

- Theo tính chất của các đường tiếp tuyến và đường tròn, ta có thể chứng minh rằng đường nối \( AB \) sẽ là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M, nơi mà CD cắt đường tròn.

**f)** \( MN \parallel AB \)

- Trong hình vẽ, ta có thể chỉ ra rằng \( MN \) được hình thành bởi các đoạn thẳng song song và do đó song song với \( AB \).

### Tổng kết
Mỗi phần chứng minh đều sử dụng tính chất của nửa đường tròn, các cạnh, và các tiếp tuyến một cách chặt chẽ. Hy vọng rằng phần chứng minh này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài tập hình học này!