Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một:

**Phần a)** Chứng minh \( \triangle AIC \cong \triangle AIB \):

1. **Điều kiện tiên đề:**
- Do \( I \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BI = IC \).
- Ta có \( AB = AC \) (vì tam giác \( ABC \) có \( AB = AC \)).

2. **Các góc:**
- Góc \( \angle AIB = \angle AIC \) (vì hai tam giác này chia cùng một góc tại A).

3. **Sử dụng tiêu chuẩn cạnh – cạnh – cạnh (CCM):**
- Có: \( AB = AC \), \( BI = IC \), \( AI = AI \)
- Suy ra \( \triangle AIC \cong \triangle AIB \) theo tiêu chuẩn \( CCS \).

=> Kết luận: \( \triangle AIC \cong \triangle AIB \).

---

**Phần b)** Chứng minh \( CE \parallel AB \):

1. **Lưu ý:**
- Bằng cách chọn điểm \( D \) trên \( AB \) và lấy điểm \( E \) trên tia đối của \( ID \) sao cho \( IE = ID \), ta thấy rằng \( \triangle IDE \) là tam giác cân với \( ID = IE \).

2. **Góc chéo:**
- Từ việc \( I \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( \overline{ID} = \overline{IE} \) có nghĩa là góc \( \angle IDE = \angle DIB \) (góc đối).

3. **Về tính song song:**
- Nếu \( \triangle IDE \) cân tại \( I \) (có \( ID = IE \)) thì các đường thẳng \( ID \) (trong tam giác \( AIB \)) sẽ vuông góc với \( AB \).
- Từ đó suy ra: các cặp góc \( \angle IDE \) và \( \angle DCA \) là bằng nhau => \( CE \parallel AB \).

---

**Phần c)** Chứng minh \( HD \) vuông góc với \( AI \):

1. **Kẻ \( EK \) vuông góc với \( BC \) tại \( K \):**
- Từ \( E \) xuống \( BC \), ta có \( EK \perp BC \).
- Trong tứ giác \( BICE \), \( I \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Chú ý:**
- Từ \( EK \perp BC \) và \( E \) di chuyển trên tia đối của \( ID \), ta có điều kiện để \( AI \) là đường trung tuyến.

3. **Theo định nghĩa vuông góc:**
- Suy ra rằng \( AD \) và \( HD \) sẽ vuông góc với \( AI \) từ một tam giác vuông, và từ đó cho ra điều kiện \( HD \perp AI \).

---

Kết luận, ta đã chứng minh được điều yêu cầu trong từng phần.