Để tìm số tự nhiên \( n \) lớn nhất có 3 chữ số thỏa mãn điều kiện \( n \equiv 6 \mod 9 \) và \( n \equiv 11 \mod 37 \), ta sẽ sử dụng phương pháp giải hệ phương trình đồng dư.

Trước tiên, ta xét hai điều kiện này:

1. \( n \equiv 6 \mod 9 \)
2. \( n \equiv 11 \mod 37 \)

### Bước 1: Tìm nghiệm cho hệ phương trình đồng dư

Theo điều kiện \( n \equiv 6 \mod 9 \), ta có thể viết \( n \) dưới dạng:
\[
n = 9k + 6
\]
với \( k \) là một số nguyên.

Thay biểu thức này vào điều kiện thứ hai \( n \equiv 11 \mod 37 \):
\[
9k + 6 \equiv 11 \mod 37
\]
Giải phương trình này:
\[
9k \equiv 11 - 6 \mod 37
\]
\[
9k \equiv 5 \mod 37
\]

### Bước 2: Giải phương trình đồng dư \( 9k \equiv 5 \mod 37 \)

Để giải phương trình này, ta cần tìm số nghịch đảo của \( 9 \) modulo \( 37 \). Ta sẽ sử dụng thuật toán Euclid mở rộng để tìm số nghịch đảo.

Ta cần tìm \( x \) sao cho:
\[
9x \equiv 1 \mod 37
\]
Áp dụng thuật toán Euclid:
\[
37 = 4 \times 9 + 1
\]
Từ đó suy ra:
\[
1 = 37 - 4 \times 9 \implies 9 \times (-4) \equiv 1 \mod 37
\]
Suy ra \( x \equiv -4 \mod 37 \) hay \( x \equiv 33 \mod 37 \). Vậy số nghịch đảo của \( 9 \) modulo \( 37 \) là \( 33 \).

### Bước 3: Tính giá trị của \( k \)

Nhân cả hai vế của phương trình \( 9k \equiv 5 \mod 37 \) với \( 33 \):
\[
k \equiv 5 \times 33 \mod 37
\]
Tính \( 5 \times 33 = 165 \), sau đó tìm \( 165 \mod 37 \):
\[
165 \div 37 \approx 4, \quad 4 \times 37 = 148 \quad \Rightarrow \quad 165 - 148 = 17
\]
Vậy ta có:
\[
k \equiv 17 \mod 37
\]

### Bước 4: Thay vào biểu thức của \( n \)

Thay \( k \) vào công thức để tính \( n \):
\[
k = 37m + 17
\]
Vậy:
\[
n = 9k + 6 = 9(37m + 17) + 6 = 333m + 153 + 6 = 333m + 159
\]

### Bước 5: Tìm \( n \) lớn nhất có 3 chữ số

Ta cần tìm \( m \) để \( n \) vẫn có 3 chữ số:
\[
333m + 159 < 1000
\]
Giải bất phương trình:
\[
333m < 1000 - 159
\]
\[
333m < 841 \implies m < \frac{841}{333} \approx 2.52
\]
Vậy \( m \) lớn nhất là \( 2 \).

### Bước 6: Tính giá trị \( n \)

Thay \( m = 2 \):
\[
n = 333 \times 2 + 159 = 666 + 159 = 825
\]

### Kiểm tra

- Chia 9: \( 825 \div 9 = 91 \) dư \( 6 \)
- Chia 37: \( 825 \div 37 = 22 \) dư \( 11 \)

Vậy số tự nhiên \( n \) lớn nhất có 3 chữ số thỏa mãn điều kiện là:
\[
\boxed{825}
\]