Để chứng minh các phần của bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của đường tròn và các tiếp tuyến.

### a) Chứng minh bốn điểm A, P, M, O cùng thuộc một đường tròn.

1. **Đặc điểm của tiếp tuyến**: Điểm P nằm trên đường tiếp tuyến Ax, và PM là tiếp tuyến tại điểm M trên đường tròn (O).
2. **Tính chất tiếp tuyến**: Theo định nghĩa, PM ⊥ OM (vì tiếp tuyến tại điểm M vuông góc với bán kính OM).
3. **Góc tạo bởi tiếp tuyến và bán kính**: Ta có ∠PMO = 90°. Do đó, tam giác OPM có góc vuông tại M.
4. **Tính chất đường tròn**: Gọi R là bán kính của đường tròn (O). Từ điểm O, vẽ OA = OB = R (bán kính) và đường tròn (O) có tâm O và bán kính R.
5. **Tam giác OPM**: Theo định lý đường tròn, điểm P, nếu nằm ngoài đường tròn, luôn tạo thành một cung của đường tròn đi qua M và chứa O.
6. **Vậy**: Bốn điểm A, P, M, O cùng nằm trên một đường tròn có tâm O1 nằm trên đường vuông góc với OP tại điểm O.

### b) Chứng minh BM // OP và OP vuông góc với AM.

1. **BM // OP**:
- Từ M, nối BM. Xét hai đoạn thẳng OM và OP.
- Vì BM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M, nên theo tính chất của tiếp tuyến, BM vuông góc với bán kính OM.
- Đồng thời, do PM là tiếp tuyến, và P nằm ngoài đường tròn, ta cũng có ∠PMO = 90°.
- Do đó, BM || OP (vì cả đều vuông góc với OM).

2. **OP vuông góc với AM**:
- Từ điểm A, ta có AM là bán kính.
- Ta có ∠APM = 90° do PM là tiếp tuyến.
- Vậy, OP vuông góc với AM bởi vì cả OP và AM đều vuông góc với cạnh tiếp tuyến BM.

### c) Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

1. **Đặt AN cắt OP tại K** và PM cắt ON tại I.
2. **Từ đặc điểm thẳng hàng**: Theo tính chất hình học, để chứng minh thẳng hàng, ta cần chỉ ra rằng góc tạo thành bởi các đường nối tương ứng là bằng nhau.
3. **Các tam giác được tạo thành**: Không gian của K, I, J trong hai đường thẳng và trên 3 đường tròn lần lượt là những tam giác đồng dạng.
4. **Dùng tính chất đồng dạng**: Từ vị trí các tiếp tuyến, có thể dẫn ra rằng $\triangle AMO$ tương tự như $\triangle PMK$, do đó dòng số đo giữa chúng sẽ trên một đường thẳng.
5. **Kết luận**: Khi các góc đối mặt đều bằng nhau, theo định lý góc trong tam giác, điểm I, K và J đều sẽ nằm trên một đường thẳng.

Hy vọng cách tiếp cận này giúp bạn giải quyết bài toán thành công!