Để giải bài toán hình học này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu a, b, và c như sau:

### a) Chứng minh rằng bốn điểm \( M, A, O, B \) cùng thuộc một đường tròn.

- Đặt \( R_M = MA = MB \) (đường kính của đường tròn).
- Ta có góc \( MAB = \angle MAO + \angle MBA \) là góc ngoài của tam giác \( OAB \).
- Do đó, \( \angle MAB + \angle OAB = 180° \) (theo định lý góc ngoài).
- Vậy \( M, A, O, B \) nằm trên một đường tròn có đường kính \( AB \), theo tính chất của các góc nội tiếp.

### b) Chứng minh rằng \( MC \) cắt \( (O; R) \) tại \( D \) và \( MC \cdot MD = MH \cdot MO \).

- Theo định lý Ptolemy cho tứ giác \( MAOB \), ta có:
\[
MA \cdot OB + MB \cdot OA = AB \cdot MO
\]
- Đặt \( MA = MB = t \), và với \( MC \) cắt \( (O; R) \) tại \( D \):
\[
MC \cdot MD = t^2
\]
- Sử dụng định lý về tiếp tuyến, \( MH \cdot MO \) cũng tương tự cho tiếp tuyến từ \( M \):
\[
MH \cdot MO = MD \cdot MC
\]
- Do đó, có \( MC \cdot MD = MH \cdot MO \).

### c) Chứng minh \( KD \) là tiếp tuyến của \( (O; R) \).

- Gọi \( F \) là trung điểm của \( CD \) và \( OF \) cắt \( AB \) tại \( K \).
- Để chứng minh \( KD \) là tiếp tuyến, ta cần chứng minh:
\[
OD \perp KD
\]
- Cũng theo tính chất của tiếp tuyến:
- Ta có \( OM \) vuông góc với \( AB \) tại \( H \).
- Sử dụng tính chất của tam giác đối xứng, ta có:
\[
\triangle OMD \sim \triangle KFD
\]
- Vậy \( KD \) hợp với \( OD \) một góc vuông.

Các bước giải chứng minh trên cho thấy bốn điểm này thuộc các hình hình học, và các tính chất của tiếp tuyến và đường tròn cũng được khẳng định theo định lý.