Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật và OA = OF.

1. **Chứng minh AEHF là hình chữ nhật:**
- Vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), nên \( AH \perp BC \).
- \( HE \) vuông góc với \( AB \) tại \( E \) nên \( HE \perp AB \).
- Từ đó, ta có \( AH \perp HE \).
- Tương tự, \( HF \) cũng vuông góc với \( AC \) tại \( F \) nên \( HF \perp AC \).
- Do đó, \( HE \perp HF \).
- Vậy tứ giác \( AEHF \) có 4 góc vuông, tức là \( AEHF \) là hình chữ nhật.

2. **Chứng minh OA = OF:**
- Tại giao điểm \( O \) của đường cao \( AH \) và đường thẳng \( EF \), \( O \) nằm trên đường cao từ \( A \) đến \( H \).
- Do \( EF \) là đường thẳng đi qua \( E \) và \( F \) và vuông góc với \( AB \) và \( AC \), bởi vậy \( O \) cách đều \( AE \) và \( AF \).
- Vì \( O \) là giao điểm của hai đường vuông góc nên \( OA = OF \).

### b) Từ M kẻ MK vuông góc với AC tại K, trên tia đối của tia MK lấy điểm D sao cho M là trung điểm của DK.

### b1) Chứng minh DB = AK.

- Gọi \( AD \) là đường thẳng đi qua \( A \) và \( D \).
- Bởi vì \( M \) là trung điểm của \( DK \) thì \( DM = MK \).
- Trong tam giác \( AMK \):
- Ta có \( AK = AM \cdot \text{cos}\beta \) và \( DB = AB \cdot \text{sin}\beta \) (điều này phụ thuộc vào các tỉ lệ trong tam giác).
- Mặt khác, đối với tam giác vuông \( ABM \):
- Ta có \( AB \) thì \( DB = AM - AD \), nơi \( AD = AK \).
- Do đó \( DB = AK \).

### b2) Từ H kẻ HI vuông góc với AM (I ∈ AM). Chứng minh tứ giác HIFE là hình thang cân.

1. **Chứng minh HE = HF:**
- Do \( H \) nằm trên đường AM và \( HE \perp AB \), \( HF \perp AC \), với \( E \) thuộc \( AB \) và \( F \) thuộc \( AC \).
- Các đường cao \( AH, HE, HF \) đều tương ứng cho các đường thẳng vuông góc từ A đến các cạnh.
- Ta có các tam giác \( AHE \) và \( AHF \) giống nhau về chiều dài do tính chất đối xứng.

2. **Chứng minh các cạnh đáy bằng nhau:**
- Khi \( HI \) là vuông góc từ \( H \) đến \( AM \), suy ra \( AEHF \) là hình chữ nhật nên \( HE = HF \).
- Từ đó, suy ra rằng tứ giác \( HIFE \) có 2 cạnh đáy bằng nhau \( HE \) và \( HF \), là hình thang cân.

Tóm lại, qua các bước chứng minh, chúng ta khẳng định rằng tứ giác \( AEHF \) là hình chữ nhật, \( OA = OF \), \( DB = AK \) và tứ giác \( HIFE \) là hình thang cân.