Để tính giới hạn \(\lim_{x \to a} \frac{x^2 - (a+1)x + a}{x^2 - a^2}\), ta bắt đầu thay \(x\) bằng \(a\) trong biểu thức:

- Mẫu: \(x^2 - a^2 = a^2 - a^2 = 0\)
- Ứng với lý do \(\lim_{x \to a} x^2 - (a+1)x + a\), tính được như sau:
\[
a^2 - (a+1)a + a = a^2 - a^2 - a + a = 0
\]

Vậy cả tử và mẫu đều trở về 0 khi \(x\) tiến đến \(a\). Do đó, ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital. Đầu tiên, ta sẽ lấy đạo hàm của tử và mẫu:

1. Đạo hàm của tử:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^2 - (a+1)x + a\right) = 2x - (a+1)
\]

2. Đạo hàm của mẫu:
\[
\frac{d}{dx}(x^2 - a^2) = 2x
\]

Áp dụng quy tắc L'Hôpital:
\[
\lim_{x \to a} \frac{2x - (a+1)}{2x}
\]

Thay \(x = a\):
\[
\frac{2a - (a+1)}{2a} = \frac{2a - a - 1}{2a} = \frac{a - 1}{2a}
\]

Vậy giới hạn là:
\[
\lim_{x \to a} \frac{x^2 - (a+1)x + a}{x^2 - a^2} = \frac{a - 1}{2a}
\]