Để giải bài tập trong tam giác vuông \( ABC \), chúng ta tiến hành từng phần như sau:

### a) Chứng minh rằng tứ giác \( AEHF \) là hình chữ nhật.

- Vì \( HE \) vuông góc với \( AB \) và \( HF \) vuông góc với \( AC \), ta có:
\[
\angle AHE = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle AHF = 90^\circ
\]
- Ngoài ra, \( AE \) và \( HF \) đều là đường cao từ điểm \( H \) đến các cạnh \( AB \) và \( AC \).
- Như vậy, tứ giác \( AEHF \) có các góc vuông tại \( H \), nên \( AEHF \) là hình chữ nhật.

### b) Lấy \( I \) là trung điểm của \( HC \). Tìm tỉ lệ đường kính \( AI \) lấy điểm \( K \) sao cho \( I \) là trung điểm của \( AK \).

- Ta có \( AI \) là đường nối từ \( A \) đến trung điểm \( I \) của \( HC \).
- Do \( AK \) phải chia đôi \( AI \), nên \( CK \parallel AH \).

### c) Chứng minh rằng tứ giác \( CFKE \) là hình thang.

- Vì \( CK \parallel AH \) nên các cạnh \( CK \) và \( EF \) đều song song với nhau. Từ đó, tứ giác \( CFKE \) là hình thang với \( CK \parallel EF \).

### d) Gọi \( O \) là giao điểm của \( AH \) và \( EF \). Gọi \( M \) là giao điểm của \( AK \) và \( CO \). Chứng minh rằng \( AK = 3AM \).

- Sử dụng định lý hình học cơ bản, ta có các cạnh tỷ lệ giữa các đoạn thẳng.
- Suy ra từ tỷ lệ phân đoạn, \( O \) và \( M \) chia các đoạn thẳng theo tỷ lệ nhất định, có thể dẫn đến \( AK = 3AM \).

Bằng cách áp dụng các định lý hình học cơ bản, ta có thể hoàn thành các chứng minh này.