Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh AEHD là hình chữ nhật.

Trong tam giác vuông \( ABC \) với góc vuông tại \( A \), ta có các điểm như sau:
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- \( D \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \).
- \( E \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AC \).

Ta cần chứng minh rằng \( AEHD \) là hình chữ nhật, tức là:
1. Hai đoạn \( AE \) và \( DH \) vuông góc với nhau.
2. Hai đoạn \( AD \) và \( EH \) vuông góc với nhau.
3. Các cặp cạnh đối diện của hình chữ nhật bằng nhau.

**Chứng minh:**
1. **Xét góc \( AHE \)**: Vì \( E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \), nên \( AE \perp HE \).

2. **Xét góc \( AHD \)**: Tương tự, vì \( D \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \), nên \( AD \perp HD \).

3. **Vì \( \triangle AHB \) và \( \triangle AHC \) đều vuông tại \( A \), các cạnh \( AH \) và \( AB \) vuông góc với nhau, và các điểm \( D \) và \( E \) là các hình chiếu vuông góc từ \( H \) lên \( AB \) và \( AC \). Do đó, ta có:**
- \( AE \perp DH \)
- \( AD \perp EH \)

4. **Vì mọi cặp cạnh đều vuông góc với nhau và các cạnh \( AE \) và \( DH \), \( AD \) và \( EH \) đối diện là bằng nhau (do điểm trung gian và các hình chiếu), vậy AEHD là hình chữ nhật.**

### b) Tính BC và DE.

**Cho biết:**
- \( AB = 6 \) cm
- \( AC = 8 \) cm
- \( BH = 3.6 \) cm

**Sử dụng định lý Pythagore để tính \( BC \):**
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}
\]
\[
BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

**Tính \( DE \):**
Ta có độ dài của đường cao \( AH \).
Sử dụng công thức tính:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
\[
AH = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

**Su đó sử dụng định lý hình chiếu:**
\[
DE = AH \cdot \frac{AB \cdot AC}{BC^2}
\]
Biết rằng \( AH \) là chiều cao, chiều dài đoạn \( DE \) (hình vuông có cạnh \( AH \)).
Vậy tính ra:
\[
DE = \sqrt{AH^2} = AH = 4.8 \text{ cm}
\]

### c) Chứng minh AM ⊥ DE.

**Lập luận:**
1. \( M \) là trung điểm của \( BC \). Do đó, \( M \) chia \( BC \) thành hai đoạn \( BM \) và \( MC \) bằng nhau.

2. Vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), nên \( AH \perp BC \).

3. Dễ thấy rằng \( DE \) là đường thẳng đi qua các hình chiếu của \( H \) nên nó vuông góc với các cạnh của tam giác.

4. **Do đó, với điểm \( M \) nằm trên \( DE \), ta có thể kết luận rằng:**
\[
AM \perp DE
\]

Từ các lập luận trên, chúng ta đã hoàn thành được bài toán.