a. Chứng minh AE/AB = AG/AM
Vì BM // EF (giả thiết), áp dụng định lý Thales trong ΔABM, ta có: AE/AB = AG/AM (1)
b. Chứng minh tứ giác BMCN là hình bình hành.
Tương tự như trên, vì CN // EF, áp dụng định lý Thales trong ΔACN, ta có: AF/AC = AG/AN (2)
Vì G là trọng tâm của ΔABC nên AG = (2/3)AD.
Từ (1) suy ra AM = (AB * AG)/AE = (AB * (2/3)AD)/AE.
Từ (2) suy ra AN = (AC * AG)/AF = (AC * (2/3)AD)/AF.
Ta có BM // EF và CN // EF nên BM // CN.
Ta cần chứng minh BM = CN hoặc AD là đường trung tuyến của tứ giác BMCN.
Xét ΔABD và ΔMBD có:
∠ADB = ∠MDB (do BM // EF)
∠BAD = ∠BMD (so le trong)
BD chung => ΔABD đồng dạng ΔMBD (g.g) => AD/MD=BD/BD=1=>AD=MD Tương tự xét tam giác ADC và NDC đồng dạng nhau ta có AD=ND Suy ra MD=ND hay D là trung điểm MN. Xét tứ giác BMCN có D là trung điểm MN và BC nên BMCN là hình bình hành
c. Chứng minh BE/AE + CF/AF = 1.
Từ (1), ta có AE/AB = AG/AM => AE/AB = (2/3)AD/AM
Từ (2), ta có AF/AC = AG/AN => AF/AC = (2/3)AD/AN
Vì BMCN là hình bình hành và D là trung điểm của BC, nên MD = DN.
Mà AM = AD + MD và AN = AD - ND nên AM + AN = 2AD.
Từ AE/AB = AG/AM => AM/AG = AB/AE => AM/(2/3)AD = AB/AE => AM = (2/3)AD*AB/AE.
Tương tự AN = (2/3)AD*AC/AF.
Do đó AM + AN = (2/3)AD(AB/AE + AC/AF) = 2AD.
Suy ra AB/AE + AC/AF = 3
Ta có BE = AB - AE và CF = AC - AF.
Khi đó BE/AE + CF/AF = (AB - AE)/AE + (AC - AF)/AF = AB/AE - 1 + AC/AF - 1 = (AB/AE + AC/AF) - 2 = 3-2 = 1.
Vậy, BE/AE + CF/AF = 1 (điều phải chứng minh).