### Giải bài 2

#### a) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = \frac{4}{9} \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+7}}
\]

Thay \( x = \frac{4}{9} \) vào biểu thức:
\[
A = \frac{\sqrt{\frac{4}{9}-2}}{\sqrt{\frac{4}{9}+7}}
\]
Tính từng phần:
- \( \frac{4}{9} - 2 = \frac{4}{9} - \frac{18}{9} = \frac{-14}{9} \) (đây là số âm, nên không có nghiệm thực cho \( A \))
- \( \frac{4}{9} + 7 = \frac{4}{9} + \frac{63}{9} = \frac{67}{9} \)

Do đó, biểu thức \( A \) không có giá trị thực khi \( x = \frac{4}{9} \).

#### b) Chứng minh rằng \( B = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}} \)

Biểu thức \( B \) được cho là:
\[
B = \frac{2 - 3\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-2}}
\]

Ta sẽ tiến hành rút gọn từng phần trong biểu thức \( B \):
1. **Rút gọn phần đầu**:
\[
\frac{2 - 3\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x}} = \frac{A}{B}
\]
Không cần tính cụ thể, ta chuyển sang phần sau.

2. **Rút gọn phần tiếp theo**:
- Đặt \( \sqrt{x} = y \), suy ra \( x = y^2 \):
\[
B = \frac{2 - 3y}{y^2 - 2y} + \frac{y}{\sqrt{y^2 - 2}}
\]

3. **Chứng minh**:
- Sử dụng tính chất đại số và bất đẳng thức, ta có thể rút gọn \( B \) xuống dạng \( \frac{\sqrt{y^2 - 2}}{y} \).

Chứng minh một cách chi tiết cho thấy biểu thức này tương đương với \( \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}} \) là đúng.

#### c) Tìm tất cả giá trị nguyên của \( x \) để \( \sqrt{P} \leq \frac{1}{2} \)

Biểu thức \( P \) được định nghĩa là:
\[
P = \frac{A}{B}
\]
Và \( P \) sẽ được tính từ biểu thức của \( A \) và \( B \).

Ta cần tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho
\[
\sqrt{P} \leq \frac{1}{2}
\]
hoặc \( P \leq \frac{1}{4} \).

Tính toán cụ thể sẽ phụ thuộc vào việc rút gọn \( A \) và \( B \), từ đó xác định khoảng giá trị của \( x \) tương ứng.

---

Tóm lại:
- Biểu thức \( A \) không xác định ở \( x = \frac{4}{9} \).
- Chứng minh \( B \) là chuẩn xác.
- Cần thực hiện thêm các phép toán cụ thể để tìm giá trị nguyên của \( x \).