Để giải bài toán về hình thang ABCD với các điều kiện đã cho, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh \(\triangle ABD \cong \triangle BDC\)

Ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn chứng minh tam giác đồng dạng:

1. **Chứng minh cạnh tương ứng:**
- \(AB = 4 \text{cm}\) (cạnh của tam giác ABD)
- \(CD = x\) (cạnh của tam giác BDC, chưa biết)

2. **Chứng minh hai cạnh còn lại:**
- Ta có \(DB = 6 \text{cm}\).

3. **Chứng minh góc bằng nhau:**
- \(\angle DAB = \angle DBC\) (đã cho).

4. **Áp dụng tiêu chuẩn “Cạnh – Góc – Cạnh” (CGC):**

Từ đó ta có:

- Cạnh \(AB\) tương ứng với \(DC\).
- Cạnh DB chung.

Vì vậy, theo quy tắc tam giác đồng dạng, ta có:

\[
\triangle ABD \cong \triangle BDC
\]

### b) Tính độ dài CD

Theo định lý về hình thang, ta có công thức tính độ dài cạnh đối diện trong tam giác như sau:

\[
CD = AB + 2 \cdot DB \cdot \tan(\angle DAB)
\]

Tuy nhiên, trong trường hợp này, vì \(\angle DAB = \angle DBC\) và có tính chất cân đối trong hình thang, ta sẽ có:

\[
CD = AB = 4 \text{cm}
\]

Tóm lại:

- Độ dài cạnh \(CD\) bằng 4 cm.