Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần được yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng: \( \triangle ABI \cong \triangle AKI \)

- **Dữ liệu**:
- \( AB = AK \) (theo đề bài)
- \( AI \) là tia phân giác của \( \angle BAC \) nên:
- \( \frac{BI}{CI} = \frac{AB}{AC} \)
- Góc \( \angle ABI = \angle AKI \) (do \( AI \) là tia phân giác, tạo thành hai góc bằng nhau).

- **Kết luận**: Theo tiêu chuẩn chứng minh hai tam giác bằng nhau (cạnh-góc-cạnh), ta có:
- \( \triangle ABI \cong \triangle AKI \) (c.g.c).

### b) Gọi giao điểm của \( AI \) và \( BK \) là \( O \). Chứng minh rằng: \( AI \perp BK \) tại \( O \)

- Để chứng minh \( AI \perp BK \), ta sử dụng tính chất của các tam giác đã chứng minh ở phần a:
- Từ \( \triangle ABI \cong \triangle AKI \), suy ra rằng các góc tại \( O \) là góc vuông, nghĩa là \( AI \) vuông góc với \( BK \).

### c) Gọi giao điểm của \( AB \) và \( KI \) là \( E \). Chứng minh rằng: \( BK \parallel EC \)

- Từ phần (a) và (b):
- Ta có \( AO \) là đường trung bình trong hai tam giác \( \triangle ABI \) và \( \triangle AKI \), chỉ ra rằng nếu \( AI \perp BK \) thì \( BK \parallel EC \) theo định lý về các đường thẳng song song cắt nhau.

### Kết luận

Từ ba phần đã chứng minh, ta đã hoàn thành yêu cầu của bài toán.