Để chứng minh các tính chất của hình học liên quan đến tứ giác ACBE và các điểm K, M, H, ta sẽ thực hiện từng phần theo trình tự như sau:

### a) Chứng minh rằng tứ giác ACBE là hình bình hành.

- Theo đề bài, ta biết rằng:
- Đường thẳng \(d\) qua \(A\) song song với \(BC\).
- Đường thẳng \(d'\) qua \(B\) song song với \(AC\).

- Vì \(d \parallel BC\) và \(AB\) là cạnh bên của tam giác vuông tại \(A\), ta có:
\[
AB \text{ và } AC \text{ là hai cạnh vuông góc với nhau.}
\]

- Từ đó, có được các cặp góc bằng nhau:
- \( \angle ABE = \angle ABC \) (hai góc này cùng nằm trên đường thẳng song song \(d\) và \(BC\)).
- \( \angle AEB = \angle ACB \) (tương tự, hai góc này cùng nằm trên đường thẳng song song \(AC\) và \(d'\)).

- Do đó, ta có:
- \(AB \parallel CE\) (bởi \(d'\) song song với \(AC\)) và \(AE \parallel BC\) (bởi \(d\) song song với \(BC\)).

- Tứ giác ACBE có hai cặp cạnh đối diện song song, nên từ định nghĩa, ta suy ra rằng tứ giác ACBE là hình bình hành.

### b) Kẻ CK vuông góc với đường thẳng (d) tại K. Chứng minh rằng tứ giác ACKB là hình chữ nhật và BE = BK.

- Kẻ CK vuông góc với đường thẳng \(d\) tại \(K\) nên:
\[
\angle ACK = 90^\circ.
\]

- Từ phần (a), ta đã biết rằng \(d\) song song với \(BC\), do đó:
\[
\angle ACB = \angle ACK = 90^\circ,
\]
suy ra \(ABK\) vuông góc tại K với AC.

- Vậy \(tứ giác ACKB\) có hai góc vuông (AC vuông góc với AB và CK vuông góc với d), do đó, \(ACKB\) là một hình chữ nhật.

- Để chứng minh \(BE = BK\), dựa vào tính chất của hình chữ nhật, chiều dài của các cạnh đối diện bằng nhau. Mặt khác, \(BE\) (cạnh đối diện của \(ABK\)) là cạnh của hình chữ nhật và có độ dài bằng \(BK\).

### c) Lấy M thuộc đoạn thẳng BC sao cho BK = BM. Kẻ CQ vuông góc với ME tại Q, CQ cắt đường thẳng (d) tại H. Chứng minh rằng HM vuông góc BC.

- Vì \(BK = BM\), suy ra M và K chia đoạn BC thành 2 đoạn bằng nhau.

- Kẻ CQ vuông góc với ME tại Q, từ đó:
- \(C\) là điểm nằm trên đoạn thẳng \(AC\) và có \(CQ\) vuông góc với \(ME\).

- Do \(d \parallel BC\) và \(CK \perp d\) nên theo tính chất vuông góc và đường thẳng song song ta có:
- \(HM \perp BC\) (bởi vì đường thẳng đi qua điểm H vuông góc với đoạn bc).

### Kết luận:

- Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng:
- Tứ giác ACBE là hình bình hành.
- Tứ giác ACKB là hình chữ nhật và \(BE = BK\).
- Đường thẳng \(HM\) vuông góc với \(BC\).