Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{1}{x^2} + 2yz + \frac{1}{y^2} + 2zx + \frac{1}{z^2} + 2xy \) với điều kiện \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \), trước tiên ta sẽ thay điều kiện này vào.

Từ điều kiện \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \), ta có thể biến đổi sang dạng khác như sau:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{yz + zx + xy}{xyz} = 0
\]
Do đó, ta có \( yz + zx + xy = 0 \).

Giờ hãy xét biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy
\]

Chúng ta có thể tách biểu thức này thành hai phần:

\[
A = \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \right) + 2(yz + zx + xy)
\]

Vì \( yz + zx + xy = 0 \), ta có:

\[
A = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2 \cdot 0 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}
\]

Tiếp theo, sử dụng điều kiện \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \), chúng ta nhận thấy rằng:

\[
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} + \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{x} \right)
\]

Bởi vì \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \), do đó bình phương của nó sẽ là 0:

\[
= 0 - 2 \left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} \right) = -2 \left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} \right)
\]

Vậy cuối cùng:

\[
A = -2 \left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} \right)
\]

Do đó, biểu thức \( A \) được rút gọn thành \( A = -2 \left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} \right) \).