Để chứng minh các yêu cầu của bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện theo từng phần.

### a) Chứng minh: ADME là hình chữ nhật.

**Chứng minh:**

1. **Xét tam giác ABC:**
- \( \angle A = 90^\circ \)
- \( AB < AC \)

2. **Gọi M là trung điểm của BC:**
- Từ định nghĩa, ta có \( BM = MC \).

3. **Phân tích các hình chiếu:**
- D là hình chiếu của M lên AB ⇒ \( MD \perp AB \)
- E là hình chiếu của M lên AC ⇒ \( ME \perp AC \)

4. **Chứng minh các yếu tố của hình chữ nhật:**
- Ta có \( AD = MD \) và \( AE = ME \) (vì M là hình chiếu).
- Vì \( \angle ADE = 90^\circ \) (do \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \)), nên \( ADME \) có một góc vuông.
- Tương tự, ta có \( \angle DAE = 90^\circ \).

5. **Kết luận:**
- ADME có 4 góc vuông, do đó ADME là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh: D là trung điểm của AB và BMEb là hình bình hành.

**Chứng minh:**

1. **D là trung điểm của AB:**
- Vì D là hình chiếu của M lên AB, nên D nằm trên đoạn AB và là trung điểm của AB do M là trung điểm của BC.
- Ta có \( AD = DB \).

2. **Chứng minh BMEB là hình bình hành:**
- Ta biết rằng \( MD \parallel BE \) (vì cả hai đều vuông góc với AB).
- Tương tự, ta cũng có \( ME \parallel BD \).
- Do đó, BM và BE đều song song (tương ứng với các đỉnh đối diện của hình bình hành).

3. **Kết luận:**
- BMEB thỏa mãn tính chất của hình bình hành khi có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

### Tóm lại:
- ADME là hình chữ nhật và BMEb là hình bình hành theo yêu cầu của bài toán.