Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 10 cm, AB = 6cm

Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một:

### a. Tính số đo các góc ABC và ACB

Ta có tam giác ABC vuông tại A, với BC là cạnh huyền và AB, AC là hai cạnh góc vuông. Theo định lý Pythagore, ta có:

\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}
\]

Bây giờ, ta tính các góc:

- Số đo góc ABC:
\[
\tan(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
\]
\[
\angle ABC = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ
\]

- Số đo góc ACB:
\[
\tan(\angle ACB) = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
\]
\[
\angle ACB = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.87^\circ
\]

Vậy số đo các góc, làm tròn đến độ nguyên sẽ là:
\[
\angle ABC \approx 53^\circ, \quad \angle ACB \approx 37^\circ
\]

### b. Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

- D là điểm đối xứng với A qua BC, tức là D nằm trên đường thẳng vuông góc với BC tại A và cách A một khoảng bằng chiều cao từ A đến BC.
- Từ tam giác vuông ABC, ta có các góc:
- \( \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ \)
- \( \angle BAC = 90^\circ \)

Khi D là điểm đối xứng của A qua BC, chúng ta có:
- \( \angle BDC \) sẽ bằng \( \angle BAC = 90^\circ \)

Do đó, bốn điểm A, B, C, D đều nằm trên cùng một đường tròn với đường kính là BC.

### c. Tính độ dài cung AD của đường tròn đi qua 4 điểm trên

Để tính độ dài cung AD, ta cần biết bán kính r của đường tròn và số đo góc giữa AD tại tâm O của đường tròn.

1. **Bán kính r:**
- Bán kính r là đoạn OA (từ O đến A). Vì A, B, C nằm trên đường tròn với BC là đường kính, ta có bán kính:
\[
r = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}
\]

2. **Tình huống góc AOB (góc giữa AD và AB) tại tâm O:**
- Số đo góc AOD = 180° (chúng ta có AD đi qua A và là đối xứng trục đối xứng qua BC).
- Diện tích cung AD = \( \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \) với \(\theta = 180^\circ\)

3. **Tính độ dài:**
\[
L = \frac{180^\circ}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{1}{2} \times 2\pi \times 5 = 5\pi \approx 15.71 \text{ cm}
\]

Vậy độ dài của cung AD là khoảng \( 15.71 \) cm.