Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một:

### a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

Để chứng minh rằng 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng định lý về các tiếp điểm và tiếp tuyến của đường tròn.

1. **Tính chất tiếp tuyến**: MA và MB là tiếp tuyến từ điểm M đến đường tròn (O). Theo định lý tiếp tuyến, ta có:
- OA vuông góc với MA tại A.
- OB vuông góc với MB tại B.

2. **Xét tứ giác MOAB**: Ta có:
- \( \angle OMA = 90^\circ \) (từ MA)
- \( \angle OMB = 90^\circ \) (từ MB)

3. **Tính chất tứ giác**: Trong tứ giác MOAB, tổng các góc đối nhau bằng 180°:
- \( \angle OMA + \angle OMB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Từ đó, theo định lý về tứ giác nội tiếp, tứ giác MOAB là một tứ giác nội tiếp, tức là 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

### b) Chứng minh OM ⊥ AB.

Để chứng minh rằng OM vuông góc với AB, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang vuông.

1. **Tổng góc**: Từ phần a), ta biết rằng OA vuông góc với MA và OB vuông góc với MB. Nên:
- \( \angle OMA + \angle OMB = 180^\circ \)

2. **Xét tam giác OAB**:
- Áp dụng định lý về các đường cao trong tam giác, ta có:
- OM là đường trung bình trong tam giác OAB.

Vì vậy, OM ⊥ AB.

### c) Vẽ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D). Gọi H là trung điểm của CD. Tia OH cắt AB tại P. Chứng minh OH = OB².

1. **Xác định điểm H**: H là trung điểm của CD và OH là một đoạn thẳng.

2. **Áp dụng định lý secant-tangent**:
- Theo định lý secant-tangent, ta có \( OH^2 = OP \cdot OM \).
- Nếu P là giao điểm của OH với AB, ta sẽ chứng minh rằng đoạn OH = OB².

### d) Chứng minh PC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

1. **Xét tứ giác PCOB**: từ P, ta có:
- PC là tiếp tuyến đến đường tròn (O) tại B.

2. **Sử dụng tính chất tiếp tuyến**: Theo tính chất tiếp tuyến, ta có rằng:
- \( \angle PBA = 90^\circ \)

Vì vậy, PC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B.

### Tổng kết:

- Qua từng phần, chúng ta đã chứng minh được các mệnh đề của bài toán dựa trên tính chất và định lý hình học liên quan đến đường tròn và tiếp tuyến.