Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### 1) Tính góc C trong tam giác ABC

Trong một tam giác, tổng ba góc bằng 180 độ. Chúng ta có:

- A = 30 độ
- B = 110 độ

C = 180 - A - B

Thay giá trị A và B vào:

C = 180 - 30 - 110 = 40 độ

### 2) Với tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC:

a) **Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACM**

- Vì tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.
- M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- Góc A là chung cho cả hai tam giác ABM và ACM.

=> Từ ba điều trên, theo tiêu chí (cạnh - cạnh - cạnh) (CCM) hay (cạnh - góc - cạnh) (CGC), ta có:

Tam giác ABM = tam giác ACM.

b) **Chứng minh rằng đường thẳng qua A và // với BC cắt đường thẳng qua B và // với AC tại K.**

Chúng ta có:

- Đường thẳng qua A và // với BC sẽ cắt đường thẳng qua B và // với AC tại điểm K.
- Theo lý thuyết, hai đường thẳng song song với một cạnh sẽ tạo thành các cặp góc đồng vị bằng nhau.

c) **Chứng minh AK = 2.MC**

Từ tam giác ABC cân cùng với việc K là giao điểm của đường thẳng đi qua A song song với BC và đi qua B song song với AC, và cũng vì M là trung điểm của BC, ta có:

- BM = MC.
- Do AK song song với BC, nên có tỉ số:

\[
\frac{AK}{MC} = \frac{AB}{AC} = 1 \text{ (vì ABC cân)}
\]

Từ đó, ta có:

AK = MC.

Vì M là trung điểm nên MC = \frac{1}{2}BC và việc song song tạo ra một tỉ lệ cho ta biết là:

AK = 2.MC.

Vậy chúng ta đã chứng minh được:

AK = 2.MC.

### Kết luận:
- Góc C = 40 độ.
- Tam giác ABM đồng dạng với tam giác ACM.
- AK = 2.MC đã được chứng minh.