Để chứng minh rằng \( \triangle AID \) và \( \triangle BKC \) là hai tam giác vuông, ta sẽ xác định các tọa độ của các đỉnh và sử dụng tính chất của hình chữ nhật.

1. **Gán tọa độ** cho các đỉnh của hình chữ nhật:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(2a, 0) \)
- \( C(2a, b) \)
- \( D(0, b) \)
(Với \( AB = 2a \) và \( BC = b \))

2. **Tìm tọa độ của các điểm I và K**:
- \( I \) là trung điểm của \( AB \):
\[
I \left( \frac{0 + 2a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (a, 0)
\]
- \( K \) là trung điểm của \( DC \):
\[
K \left( \frac{0 + 2a}{2}, \frac{b + b}{2} \right) = (a, b)
\]

3. **Tính độ dài các đoạn thẳng**:
- Độ dài \( AI = a \), \( DI = b \) (do \( A \) và \( D \) đều nằm trên trục y và x)
- Đoạn thẳng \( JK \) vuông góc với \( DC \) vì \( JK \) là một đoạn thẳng thẳng đứng từ \( I \) lên \( K \).

4. **Chứng minh rằng \( IK \) vuông góc với \( AB \)**:
- Đoạn thẳng \( IK \) có độ dài:
\[
IK = \sqrt{(a - a)^2 + (b - 0)^2} = b
\]
- Góc \( \angle AID \) được tạo thành giữa hai đoạn thẳng \( AI \) và \( DI \) sẽ là vuông.

5. **Chứng minh rằng \( JK \) vuông góc với \( DC \)**:
- Tương tự, đoạn thẳng \( BK \) giữa các điểm \( B \) và \( K \):
\[
BK = \sqrt{(2a - a)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
- Tại đây, góc \( \angle BKC \) cũng sẽ là vuông.

Do đó, ta đã chứng minh được \( \triangle AID \) và \( \triangle BKC \) đều là tam giác vuông và các đoạn thẳng \( JK \) và \( DC \) vuông góc với nhau.