Xét tam giác ABC có góc A = 90° với các điểm H, K, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Ta sẽ chứng minh từng phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng KQ song song với AB

Xét các tọa độ:
- Giả sử A = (0, 0), B = (a, 0), C = (0, b).
- Do đó, H là trung điểm của AB:
\[
H = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right).
\]
- K là trung điểm của BC:
\[
K = \left(\frac{a + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right).
\]
- Q là trung điểm của AC:
\[
Q = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(0, \frac{b}{2}\right).
\]

Ta sẽ tính độ dốc của đoạn thẳng KQ và AB để chứng minh chúng song song.

- Độ dốc của AB là:
\[
\text{Độ dốc của AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - 0}{a - 0} = 0.
\]
- Độ dốc của KQ là:
\[
\text{Độ dốc của KQ} = \frac{y_Q - y_K}{x_Q - x_K} = \frac{\frac{b}{2} - \frac{b}{2}}{0 - \frac{a}{2}} = \frac{0}{-\frac{a}{2}} = 0.
\]

Vì độ dốc của cả KQ và AB đều bằng 0, nên KQ song song với AB.

### b) Chứng minh rằng ba điểm B, I, Q thẳng hàng

Gọi I là trung điểm của HK. Ta tính tọa độ của I:
\[
I = \left(\frac{x_H + x_K}{2}, \frac{y_H + y_K}{2}\right) = \left(\frac{\frac{a}{2} + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{b}{2}}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{4}\right).
\]

Vì B = (a, 0) và Q = \left(0, \frac{b}{2}\right), ta sẽ tính độ dốc của đoạn thẳng BQ:
\[
\text{Độ dốc của BQ} = \frac{y_Q - y_B}{x_Q - x_B} = \frac{\frac{b}{2} - 0}{0 - a} = \frac{\frac{b}{2}}{-a} = -\frac{b}{2a}.
\]

Tiếp theo, ta tính độ dốc của BI:
\[
\text{Độ dốc của BI} = \frac{y_I - y_B}{x_I - x_B} = \frac{\frac{b}{4} - 0}{\frac{a}{2} - a} = \frac{\frac{b}{4}}{-\frac{a}{2}} = -\frac{b}{4} \cdot \frac{2}{a} = -\frac{b}{2a}.
\]

Vì độ dốc của BQ và BI bằng nhau, nên ba điểm B, I, Q thẳng hàng.

### c) Chứng minh IA = IQ

Ta có tọa độ của các điểm A, I và Q:
- A = (0, 0)
- I = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{4}\right)
- Q = \left(0, \frac{b}{2}\right)

Tính độ dài IA:
\[
IA = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{4} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{16}} = \sqrt{\frac{4a^2 + b^2}{16}} = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 + b^2}.
\]

Tính độ dài IQ:
\[
IQ = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - \frac{b}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{16}} = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 + b^2}.
\]

Vậy, ta có \( IA = IQ \).

Như vậy, ta đã chứng minh xong các yêu cầu.