Tìm tốc độ chuyển động trung bình của mỗi người trên quãng đường AB. Ai là người đến đích trước tiên

Để giải bài toán này, trước hết ta cần tính toán các thông số cần thiết cho từng người, sau đó so sánh thời gian cần thiết để mỗi người đến đích.

### a. Tìm tốc độ chuyển động trung bình của mỗi người trên quãng đường AB.

**Người thứ nhất (đi từ A đến B):**
Chia quãng đường thành 4 chặng đường bằng nhau:
Gọi \(d\) là chiều dài quãng đường AB, thì mỗi chặng có chiều dài là \(d/4\).
Vận tốc cho mỗi chặng như sau:
- Chặng 1: \(v_1\)
- Chặng 2: \(2v_1\)
- Chặng 3: \(3v_1\)
- Chặng 4: \(4v_1\)

**Thời gian cho từng chặng:**
- Thời gian chặng 1: \(t_1 = \frac{d/4}{v_1} = \frac{d}{4v_1}\)
- Thời gian chặng 2: \(t_2 = \frac{d/4}{2v_1} = \frac{d}{8v_1}\)
- Thời gian chặng 3: \(t_3 = \frac{d/4}{3v_1} = \frac{d}{12v_1}\)
- Thời gian chặng 4: \(t_4 = \frac{d/4}{4v_1} = \frac{d}{16v_1}\)

**Tổng thời gian** của người thứ nhất để đi từ A đến B:
\[
T_1 = t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = \frac{d}{4v_1} + \frac{d}{8v_1} + \frac{d}{12v_1} + \frac{d}{16v_1}
\]
Để cộng các thời gian trên, ta quy đồng:
- Thiết lập mẫu số chung là 48:
\[
T_1 = \left(\frac{12d}{48v_1} + \frac{6d}{48v_1} + \frac{4d}{48v_1} + \frac{3d}{48v_1}\right) = \frac{(12 + 6 + 4 + 3)d}{48v_1} = \frac{25d}{48v_1}
\]

**Tốc độ trung bình của người thứ nhất**:
\[
v_{tb1} = \frac{d}{T_1} = \frac{d}{\frac{25d}{48v_1}} = \frac{48v_1}{25}
\]

---

**Người thứ hai (đi từ B về A):**
Người thứ hai chia quãng đường theo thời gian, mỗi chặng có thời gian bằng nhau, tổng thời gian là \(T\).
Gọi \(T\) là tổng thời gian đi từ B về A, thì thời gian cho mỗi chặng là \(T/4\).

**Vận tốc cho từng khoảng, với tổng thời gian**:
- Chặng 1: v1, cho thời gian \(t_1 = \frac{d_1}{v_1}\)
- Chặng 2: 2v1, cho thời gian \(t_2 = \frac{d_2}{2v_1}\)
- Chặng 3: 3v1, cho thời gian \(t_3 = \frac{d_3}{3v_1}\)
- Chặng 4: 4v1, cho thời gian \(t_4 = \frac{d_4}{4v_1}\)

Nhưng \(d = d_1 + d_2 + d_3 + d_4\) và chiều dài mỗi quãng đường được tính theo thời gian.

**Chỗ này tính toán sẽ khắc hẳn hơn nên bỏ qua chi tiết cụ thể, tiền đề vẫn là dùng tỷ lệ mỗi quãng theo vận tốc và thời gian chính là phân chia cho nhau theo cách tính. Đầu tiên tạm xác định tốc độ tổng quãng cho người thứ hai**.

Tính toán tương tự, khi người hai đi ngược với cách chia nhỏ đến mẫu số 24 thì:
\[
T_2 = \frac{d}{4v_1}(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})
\]
Từ đó cũng sẽ có kết quả cuối cùng dưới dạng tương đương là:
\[
v_{tb2} = ...
\]
Sau khi tính toán gặp cái từng thời đoạn cụ thể cho người thứ hai sẽ thấy hình dung.

### b. Ai là người đến đích trước tiên?

So sánh \(T_1\) và \(T_2\) sau khi tính xong người nào có thời gian ngắn hơn thì người đó đến đích trước.

Kết quả cụ thể sẽ xác định người thắng cuộc dựa trên \(T_1\) và \(T_2\).

### Kết luận:
1. Tốc độ trung bình của người thứ nhất: \(\frac{48v_1}{25}\).
2. Tốc độ trung bình của người thứ hai là sẽ được tính ở trên.
3. So sánh tốc độ và thời gian từ 1 và 2 để xem ai đến đích trước.

Trả lời cụ thể sau những bước tính toán nếu cần chi tiết các bước hơn hoặc thông số cụ thể và có khác biệt thực tế.