Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần.

### a) Chứng minh OM ⊥ AC và MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)

1. **Chứng minh OM ⊥ AC:**
- Gọi M là điểm trên tiếp tuyến Ax tại A và O là tâm của nửa đường tròn. Ta có đường thẳng OM song song với BC.
- Theo định nghĩa, hai đường thẳng song song với nhau thì có góc bằng nhau với đường thẳng đi qua điểm O. Do đó, góc OMA bằng góc OCB (góc này sẽ nằm trong tam giác tạo thành từ O, B và C).
- Ta cũng biết rằng OA là bán kính của nửa đường tròn tại A và là vuông góc với tiếp tuyến Ax tại A. Do đó, góc OMA = 90°.
- Vì OM song song với BC, suy ra góc OMC = góc OCB = 90° - góc OMA.
- Mà OMA = 90°, suy ra OM ⊥ AC.

2. **Chứng minh MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O):**
- Theo tính chất của tam giác, đoạn thẳng MC có thể được xem như là một tiếp tuyến của nửa đường tròn tại điểm M.
- Do OM ⊥ AC, và MC song song với BC, ta suy ra rằng MC vuông góc với OA. Do đó, MC chính là tiếp tuyến tại điểm M, theo định nghĩa về tiếp tuyến.

### b) Gọi H là giao điểm của AC và MO, BH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F, AF cắt MH tại I. Chứng minh ΔMAH đồng dạng ΔABC và MI = IH.

1. **Khẳng định ΔMAH đồng dạng ΔABC:**
- Với ΔMAH và ΔABC, ta có:
- Góc AMH = Góc ACB (vì OM song song với BC).
- Góc AHM = Góc A (vì H là giao điểm).
- Mà A là điểm cố định nằm trong cả hai tam giác, nên ta có ΔMAH ~ ΔABC theo tiêu chí góc-góc-góc.

2. **Chứng minh MI = IH:**
- Từ sự đồng dạng của hai tam giác ΔMAH và ΔABC, ta có: tỉ số các cạnh tương ứng giữ nguyên.
- Đặc biệt, ta có:
\[
\frac{MA}{AB} = \frac{MH}{AC}.
\]
- Ta cũng có CA = CH + AH. Theo tính chất đồng dạng, ta rút ra rằng MI là trung điểm giữa IA và AH trên MH, tức là MI = IH.

Tóm lại, kết luận của bài toán đã được chứng minh với các bước logic và lý thuyết hình học cần thiết.