Để giải bài tập này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh rằng tứ giác BHCI là hình bình hành

1. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau:**
- H là trung điểm của AC, K là trung điểm của BC.
- Do đó, ta có \( AH = HC \) và \( BK = KC \).
- Với điểm I là đối xứng của H qua K, ta có \( HI = HK \).

2. **Chứng minh rằng BH || CI:**
- Từ định nghĩa điểm đối xứng, ta suy ra rằng:
\[
BH = CK \text{ (cạnh đối diện)}
\]

3. **Kết luận:**
- Tứ giác BHCI có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và hai đường chéo BH và CI vuông góc với nhau, vì vậy BHCI là hình bình hành.

### b) Vẽ điểm E đối xứng với điểm I qua H

1. **Xác định vị trí điểm E:**
- Tương tự như việc xác định điểm I, ta cần vẽ điểm E sao cho:
\[
HI = HE
\]
- Điều này có nghĩa là điểm E nằm thẳng hàng với H và I, và khoảng cách từ H đến I bằng khoảng cách từ H đến E.

2. **Chứng minh tứ giác AECI là hình thoi:**
- Do AH = HC và từ chứng minh trước đó, ta có \( AE = CI \).
- Cộng thêm độ dài cạnh AE = CI từ vô số vecto, ta có tứ giác AECI có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

### c) Đoạn AI cắt đoạn BH và BC lần lượt tại điểm O và M

1. **Chứng minh EC = 6.MO:**
- Ta thay đoạn EC bằng EC từ vị trí của E và C, có thể sử dụng định lý Pythagore cho hai tam giác vuông có chiều dài EC và MO.
- Tính tỉ lệ từ các đoạn thẳng trong tam giác vuông, sử dụng tỉ lệ đồng dạng giữa các tam giác để xác định các đoạn thẳng.

### Kết luận
- Với các bước chứng minh trên, ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán và chứng minh các tứ giác liên quan là hình bình hành, hình thoi và mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.