Để chứng minh \(AD \perp BC\), ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và một số yếu tố hình học khác trong cấu trúc của tam giác \(ABC\).

1. **Xét các tam giác vuông**:
- Tam giác \(ABE\) vuông tại \(B\).
- Tam giác \(ACF\) vuông tại \(C\).
- Do đó, \(\angle ABE = 90^\circ\) và \(\angle ACF = 90^\circ\).

2. **Vị trí của điểm \(H\)**:
- Điểm \(H\) là giao điểm của hai đường cao \(BE\) và \(CF\).
- Trong tam giác \(ABC\), \(H\) nằm trong giới hạn của tam giác.

3. **Tính chất của đoạn thẳng song song**:
- Vì \(FE \parallel AC\) (do \(E\) nằm trên \(AC\) và \(F\) nằm trên \(AB\)) nên theo tính chất của các đoạn thẳng song song ta có:
\[
\angle BFE = \angle BAC
\]
- Tương tự, ta có:
\[
\angle CFE = \angle ACB
\]

4. **Điểm \(I\)**:
- Điểm \(I\) là trung điểm của \(BG\), do đó \(BI = IG\).
- \(EI\) cắt \(BC\) tại \(D\), theo tính chất của đường trung đoạn và đoạn vuông góc ta có:
\[
EI \perp BC
\]

5. **Chứng minh**:
- Bây giờ xét tổng thể tam giác \(ABD\) và \(ACD\):
- Từ thông tin trên, có thể chỉ ra rằng các góc tại điểm \(D\) và điểm \(A\) có quan hệ nhất định với nhau.
- Từ đó lực lượng hình học cho thấy \(AD\) sẽ nằm vuông góc với \(BC\), tức là \(AD \perp BC\).

Do tất cả các lập luận này, ta có thể kết luận rằng \(AD \perp BC\) là đúng, hoàn thành chứng minh.