Để tìm giá trị \( m \) sao cho biểu thức \( T = x_1^2 + x_2^2 \) có giá trị nhỏ nhất, ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Tính tổng và tích của nghiệm**:

Đối với phương trình bậc hai dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \), ta có:
- Tổng của các nghiệm \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
- Tích của các nghiệm \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)

Ở đây, với phương trình:
\[
x^2 - 2(m+1)x - (m^2 + 1) = 0
\]
có:
- \( a = 1 \)
- \( b = -2(m + 1) \)
- \( c = -(m^2 + 1) \)

Vậy ta có:
\[
x_1 + x_2 = 2(m + 1)
\]
\[
x_1 x_2 = -(m^2 + 1)
\]

2. **Tính \( T \)**:
Biểu thức \( T \) có thể được viết lại như sau:
\[
T = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2
\]
Thay giá trị vào ta được:
\[
T = \left(2(m + 1)\right)^2 - 2(- (m^2 + 1))
\]
\[
T = 4(m + 1)^2 + 2(m^2 + 1)
\]

3. **Rút gọn biểu thức \( T \)**:
Rút gọn để tìm giá trị tối thiểu:
\[
T = 4(m^2 + 2m + 1) + 2(m^2 + 1)
\]
\[
= 4m^2 + 8m + 4 + 2m^2 + 2
\]
\[
= 6m^2 + 8m + 6
\]

4. **Tìm m để T nhỏ nhất**:
Ta có biểu thức bậc 2 \( T = 6m^2 + 8m + 6 \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta dùng công thức tìm đỉnh \( m = -\frac{b}{2a} \):
\[
m = -\frac{8}{2 \cdot 6} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}
\]

5. **Kiểm tra điều kiện**: Kiểm tra để đảm bảo rằng phương trình có hai nghiệm:
Tính Δ (đêlta):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = [2(m + 1)]^2 + 4(m^2 + 1)
\]
Thay \( m = -\frac{2}{3} \):
\[
\Delta = [2(-\frac{2}{3} + 1)]^2 + 4\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 4
\]
Tính toán Δ đảm bảo Δ > 0 là được.

Cuối cùng, giá trị của \( m \) để \( T \) đạt giá trị nhỏ nhất là:
\[
\boxed{-\frac{2}{3}}
\]