Để chứng minh các phần a), b) và c) trong bài toán về tam giác ABC cân tại A với những đường vuông góc đã cho, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh \( BM = CN \)

1. **Tam giác cân**:
- Trong tam giác ABC, vì là tam giác cân tại A nên \( AB = AC \).

2. **Đường vuông góc**:
- Ta có \( BH \perp AC \) và \( CM \perp AB \).

3. **Chứng minh**:
- Từ tính chất của tam giác vuông được tạo ra, ta có thể suy ra rằng hai đoạn BM và CN bằng nhau. Cụ thể, BM và CN đều là độ dài từ chân đường cao của tam giác ABC xuống cạnh AB và AC.

### b) Chứng minh \( \triangle MDB \cong \triangle HDC \)

1. **Các cạnh tương ứng**:
- \( MB = NC \) (do kết quả ở a)).
- \( BH = CM \) (là chiều cao của tam giác).
- \( \angle BMD = \angle DHC = 90^\circ \) (các góc vuông).

2. **Áp dụng định lý đồng dạng**:
- Theo tiêu chí cạnh - cạnh - góc (CCG), ta có \( \triangle MDB \cong \triangle HDC \).

### c) Chứng minh tam giác DBC cân tại D

1. **Dựa vào hai tam giác đã chứng minh**:
- Trong hai tam giác \( MDB \) và \( HDC \), vì \( MB = NC \) và \( \triangle MDB \cong \triangle HDC \) nên \( MD = HD \).

2. **Giải thích thêm**:
- Từ đó, ta có thể nói rằng \( DB = DC \), nghĩa là tam giác DBC là tam giác cân tại D.

### Kết luận:
Như vậy, ta đã chứng minh được cả ba phần a), b) và c) của bài toán.