Để giải bài toán, ta đặt vận tốc của ô tô là \(v_1\) km/h và vận tốc của xe máy là \(v_2\) km/h.

1. **Thời gian và khoảng cách di chuyển**:
- Ô tô và xe máy khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Khi đó, tổng quãng đường mà cả hai phương tiện đi được là 200 km.
- Sau 2 giờ, khoảng cách mà ô tô đi được là \(2v_1\) km và khoảng cách mà xe máy đi được là \(2v_2\) km.
- Ta có phương trình:
\[
2v_1 + 2v_2 = 200
\]
- Rút gọn, ta có:
\[
v_1 + v_2 = 100 \quad (1)
\]

2. **Điều kiện về vận tốc**:
- Nếu vận tốc của ô tô tăng 10 km/h và vận tốc của xe máy giảm 5 km/h thì vận tốc của ô tô bằng 2 lần vận tốc của xe máy:
\[
v_1 + 10 = 2(v_2 - 5)
\]
- Phương trình này có thể được rút gọn:
\[
v_1 + 10 = 2v_2 - 10
\]
\[
v_1 - 2v_2 = -20 \quad (2)
\]

3. **Giải hệ phương trình (1) và (2)**:
- Từ (1), ta có:
\[
v_1 = 100 - v_2
\]
- Thay \(v_1\) vào (2):
\[
100 - v_2 - 2v_2 = -20
\]
\[
100 - 3v_2 = -20
\]
\[
3v_2 = 120
\]
\[
v_2 = 40 \quad (3)
\]
- Thay \(v_2 = 40\) vào (1):
\[
v_1 + 40 = 100
\]
\[
v_1 = 60 \quad (4)
\]

**Kết luận**:
- Vận tốc của ô tô là \(60\) km/h và vận tốc của xe máy là \(40\) km/h.