Cho hình hộp \( ABCD \cdot A'B'C'D' \) có 6 mặt đều là hình vuông. Gọi \( M, N \) lần lượt là điểm tùy ý thuộc hai đoạn thẳng \( DD', B'D' \). Xác định số đo góc hai đường thẳng \( AC, MN \)

Để giải bài toán này, ta cần xem xét hình hộp \( ABCD \cdot A'B'C'D' \) và các điểm \( M, N \) trên đoạn thẳng \( DD' \) và \( B'D' \).

Ta giả sử kích thước của hình hộp là \( a \), với các tọa độ cho các đỉnh như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( A'(0, 0, a) \)
- \( B'(a, 0, a) \)
- \( C'(a, a, a) \)
- \( D'(0, a, a) \)

### Xác định tọa độ điểm M và N
- Điểm \( M \) nằm trên đoạn thẳng \( DD' \), do đó, tọa độ của \( M \) có thể viết như sau:
\[
M(0, a, z_M), \quad z_M \in [0, a]
\]
- Điểm \( N \) nằm trên đoạn thẳng \( B'D' \), do đó, tọa độ của \( N \) có thể viết như sau:
\[
N(0, a', z_N), \quad a' \in [0, a], \quad z_N \in [0, a]
\]

### Vectơ AC và MN
1. **Vectơ AC**:
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0)
\]

2. **Vectơ MN**:
\[
\overrightarrow{MN} = N - M = (0, a', z_N) - (0, a, z_M) = (0, a' - a, z_N - z_M)
\]

### Tính góc giữa hai vectơ
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{MN}\) được xác định bằng công thức:
\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{MN}|}
\]

- **Độ lớn của vectơ \( AC \)**:
\[
|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}
\]

- **Độ lớn của vectơ \( MN \)**:
\[
|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(a' - a)^2 + (z_N - z_M)^2}
\]

- **Tích vô hướng**:
\[
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{MN} = a \cdot 0 + a \cdot (a' - a) + 0 \cdot (z_N - z_M) = a(a' - a)
\]

### Tính góc
Cuối cùng, ta có công thức cho cos góc:
\[
\cos \theta = \frac{a(a' - a)}{(a\sqrt{2})\sqrt{(a' - a)^2 + (z_N - z_M)^2}}
\]

Từ đây, bạn có thể tính số đo góc \( \theta \) theo các giá trị của \( a, a', z_N, z_M \).

### Kết luận
Số đo góc giữa hai đường thẳng \( AC \) và \( MN \) có thể được xác định thông qua các thành phần của các vectơ và sử dụng công thức tính góc.