Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^3 + y^3 + xy \) với điều kiện \( x + y = 1 \), trước tiên, chúng ta có thể thay \( y \) bằng \( 1 - x \).

Thay vào biểu thức, ta có:

\[
P = x^3 + (1 - x)^3 + x(1 - x)
\]

Tiến hành khai thác \( (1 - x)^3 \):

\[
(1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3
\]

Vậy biểu thức trở thành:

\[
P = x^3 + (1 - 3x + 3x^2 - x^3) + x(1 - x)
\]
\[
= 1 - 3x + 3x^2 + x - x^2
\]
\[
= 1 - 2x + 2x^2
\]

Do đó, ta có biểu thức:

\[
P = 2x^2 - 2x + 1
\]

Đây là một hàm bậc hai theo biến \( x \) có dạng \( P = 2(x^2 - x) + 1 \).

Hàm bậc hai này có thể viết lại ở dạng:

\[
P = 2\left(x^2 - x + \frac{1}{4}\right) + 1 - \frac{1}{2} = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}
\]

Hàm này có giá trị nhỏ nhất khi \( \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 0 \) tức là khi \( x = \frac{1}{2} \).

Tại điểm này, \( y = 1 - x = \frac{1}{2} \).

Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là:

\[
P = 2\left(0\right) + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
\]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^3 + y^3 + xy \) khi \( x + y = 1 \) là:

\[
\boxed{\frac{3}{2}}
\]