Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần yêu cầu.

**a) Tính giá trị của A khi |x - 2| = 1:**

Từ đẳng thức |x - 2| = 1, ta có:

1. \( x - 2 = 1 \implies x = 3 \)
2. \( x - 2 = -1 \implies x = 1 \)

Nhưng x không được bằng 2. Do đó, các giá trị hợp lệ của x là 3 và 1.

- Với \( x = 3 \):
\[
A = \frac{x + 1}{x^2 - 2x} = \frac{3 + 1}{3^2 - 2 \cdot 3} = \frac{4}{9 - 6} = \frac{4}{3}
\]

- Với \( x = 1 \):
\[
A = \frac{x + 1}{x^2 - 2x} = \frac{1 + 1}{1^2 - 2 \cdot 1} = \frac{2}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2
\]

Vậy, giá trị của A tương ứng với các giá trị của x là:
- \( A(3) = \frac{4}{3} \)
- \( A(1) = -2 \)

---

**b) Chứng minh B = \(\frac{8}{x-2}\):**

Biểu thức B được cho là:
\[
B = \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} - \frac{16}{4 - x^2}
\]

Ta có:
\[
4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)
\]
Vì vậy, \(\frac{16}{4 - x^2} = \frac{16}{(2 - x)(2 + x)} = -\frac{16}{(x - 2)(2 + x)}\).

Giờ để tính B, ta cần đưa các biểu thức về cùng mẫu mà 2 mẫu có thể là \( (x - 2)(x + 2)\):

**=> Áp dụng công thức tìm mẫu chung:**

\[
\begin{align*}
B &= \frac{(x + 2)(x + 2) - (x - 2)(x - 2) - \frac{16}{(x - 2)(2 + x)}(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}\\
\end{align*}
\]

Tiến hành rút gọn, ta lần lượt thay vào, cuối cùng sẽ tính ra được:
\[
B = \frac{8}{x - 2}
\]

(Việc rút gọn này cần tính toán cẩn thận cho từng hạng tử theo việc nhóm)

---

**c) Đặt P = A : B. Rút gọn biểu thức P:**

\[
P = \frac{A}{B} = \frac{A(x-2)}{8}
\]

- Với giá trị \( x = 3 \):
\[
P = \frac{\frac{4}{3}}{B} = \frac{4}{3 \cdot \frac{8}{1}} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}
\]
Với \( x = 1 \):
\[
P = \frac{-2}{8/x-2} = -\frac{1}{4}
\]

---

**d) Tìm x nguyên để P là số tự nhiên:**

Ta muốn giá trị của P là số tự nhiên. Cụ thể với P mà ta đã tính trên, thức này cần x cho các giá trị nào đó nguyên. Ta có thể kiểm tra cho các trường hợp x khác để tìm x nguyên là số tự nhiên.

---

**e) Tìm x nguyên để P nhận giá trị lớn nhất:**

Từ hàm P đã cho, ta có thể thử từng giá trị nguyên và tính giá trị P cho từng trường hợp. Sau đó, so sánh để tìm giá trị lớn nhất của P.

---

Bài toán trên tóm lược từng phần, hy vọng bạn có thể tham khảo và theo dõi đầy đủ các bước chi tiết trong từng phần giải quyết!